Łatwe zadania - kresy, granica

[Magda6686]

Cześć, przerabiam zbiór zadań z analizy ale natrafilam na 2 zadania z którymi nie mogę w żaden sposób ruszyć.
Oto one:

Zad 1:
a) Niech \(f,g : A \rightarrow\ R\) będą funkcjami ograniczonymi z dołu. Udowodnić, że
\(\inf ( f(x) + g(x) ) \ge \inf f(x) + \inf g(x)\)
Kres dolny oczywiście odnosi się do zbioru \(A\).

b) Niech \(f,g : A \rightarrow \ R\) będą funkcjami ograniczonymi. Udowodnić dwie nierówności:
\(| \inf f(x) - \inf g(x) | \ge \inf ( f(x) - g(x) )\)
oraz
\(| \inf f(x) - \inf g(x) | \ge \inf ( - ( f(x) - g(x) ) )\)

Zad 2:
Zbadać dla jakich \(x \in \ R\) poniższa granica jest skończona:
\(\lim_{ n\to \infty } \prod^{n}_{k=0} (1 + x ^{ 2^{k} })\)

Przy ostatnim zadaniu otrzymałam podpowiedzi że należy pomnożyć wyrażenie przez \((1-x)\) lub \(\frac{(1-x)}{(1-x)}\) przy założeniu że \(x \neq 1\), jednak nie wiem co dalej?

[Panko]

zadanie 2.
możesz wstępnie zbadać warunek konieczny
TW . Jeśli iloczyn nieskończony \(a_1 \cdot a_2 \cdot ...\) jest zbieżny to \(\Lim_{n\to \infty } a_n=1\)
U Ciebie to \(\Lim_{n\to \infty }( 1+x^{2^n})=1\) \(\iff\) \(\Lim_{n\to \infty }x^{2^n}=0\)
Czyli gdy \(x \in (-1,1)\)
..........................................................................
Dostateczność wynika z twierdzenia
TW. Przy założeniu ,że \(a_n>0\) dla każdego n , iloczyn \(\Pi( 1+a_n)\) jest zbieżny \(\iff\) gdy zbieżny jest szereg \(\sum_{n=1}^{ \infty }a_n\)

Badasz zbieżność szeregu \(\sum_{n=0}^{ \infty } (x ^{2^n} )\) o wyrazach dodatnich .

[Magda6686]

1. Nie jestem pewna czy dobrze rozumiem pojęcie "granica skończona" , co to znaczy "skończona"?
2. Czy znajdę gdzieś dowód pierwszego twierdzenia z którego korzystasz?

[Panko]

1. Jest liczbą
2. Oczywiście : Biblioteka Matematyczna : BM Tom 22 Rachunek różniczkowy i całkowy . Funkcje jednej zmiennej.
Autor Kazik Kuratowski.
Rozdział . Szeregi nieskończone. Iloczyny nieskończone

[Magda6686]

1. Granica ciągu nie jest liczbą jeżeli jest równa symbolowi nieoznaczonemu?
2. Co z dowodami nierówności z zad1, ktoś ma jakiś pomysł?

[Panko]

1. granica właściwa czyli liczba
granica niewłaściwa czyli \(\pm \infty\) ( rozszerzamy zbiór R ) o dwa nowe elementy.
2. Już nie wiem czy to Twój post z wczoraj był z pytaniem o dowód: Jeżeli \(\lambda>0\) to \(\lambda \cdot supA\) \(=\) \(sup( \lambda A)\) .
Powinnaś naśladować to rozumowanie.