trapez wpisany w półkole
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Rozkręcam się
- Posty: 46
- Rejestracja: 22 wrz 2014, 20:43
- Podziękowania: 40 razy
trapez wpisany w półkole
W półkole wpisano trapez tak, że jedna z jego podstaw jest średnicą tego półkola. Stosunek sumy podstaw trapezu do jego obwodu równy jest 2/3. Oblicz cosinus kąta przy większej podstawie trapezu.
-
- Stały bywalec
- Posty: 871
- Rejestracja: 11 gru 2010, 17:46
- Lokalizacja: Puck i Trójmiasto
- Otrzymane podziękowania: 415 razy
- Płeć:
Trapez wpisany w półkole a więc taki który da się również wpisać w okrąg jest równoramienny.
oznaczmy długości:
\(a,b\) - podstawy, \(c\) - ramię, \(t = \frac{a+b}{2}\)
wysokość trapezu równoramiennego dzieli podstawę na odcinek długości \(b\) i dwa odcinki długości \(\frac{a-b}{2}\)
"Stosunek sumy podstaw trapezu do jego obwodu równy jest \(\frac{2}{3}\) " zatem \(\frac{a+b}{a+b+2c} = \frac{2}{3}\) i po przekształceniach dostaniemy \(t = 2c\).
Jeśli \(\alpha\) miara kąta przy większej podstawie trapezu to:
\(\cos \alpha = \frac{ \frac{a-b}{2} }{c}\) ale również \(\cos \alpha = \frac{c}{a}\) ('jedna z jego podstaw jest średnicą tego półkola' zatem trójkąt wyznaczony przez dłuższą podstawę, ramię i przekątną trapezu jest prostokątny)
\(\frac{ \frac{a-b}{2} }{c} = \frac{a-t}{c}\)
\(\frac{a-t}{c} = \frac{c}{a}\)
\(\frac{a-2c}{c} = \frac{c}{a}\)
\(c^2 = a^2 - 2ac\)
\((\frac{c}{a} )^2 = 1 - 2\cdot \frac{c}{a}\)
Rozwiązaniem równania kwadratowego \(x^2 = 1 - 2x\) są liczby: \(-1 \pm \sqrt{2}\)
zatem \(\cos \alpha = -1 + \sqrt{2}\)
oznaczmy długości:
\(a,b\) - podstawy, \(c\) - ramię, \(t = \frac{a+b}{2}\)
wysokość trapezu równoramiennego dzieli podstawę na odcinek długości \(b\) i dwa odcinki długości \(\frac{a-b}{2}\)
"Stosunek sumy podstaw trapezu do jego obwodu równy jest \(\frac{2}{3}\) " zatem \(\frac{a+b}{a+b+2c} = \frac{2}{3}\) i po przekształceniach dostaniemy \(t = 2c\).
Jeśli \(\alpha\) miara kąta przy większej podstawie trapezu to:
\(\cos \alpha = \frac{ \frac{a-b}{2} }{c}\) ale również \(\cos \alpha = \frac{c}{a}\) ('jedna z jego podstaw jest średnicą tego półkola' zatem trójkąt wyznaczony przez dłuższą podstawę, ramię i przekątną trapezu jest prostokątny)
\(\frac{ \frac{a-b}{2} }{c} = \frac{a-t}{c}\)
\(\frac{a-t}{c} = \frac{c}{a}\)
\(\frac{a-2c}{c} = \frac{c}{a}\)
\(c^2 = a^2 - 2ac\)
\((\frac{c}{a} )^2 = 1 - 2\cdot \frac{c}{a}\)
Rozwiązaniem równania kwadratowego \(x^2 = 1 - 2x\) są liczby: \(-1 \pm \sqrt{2}\)
zatem \(\cos \alpha = -1 + \sqrt{2}\)