Prosiłabym o rozwiązanie krok po kroku
Zad.1 Rozwiąż równanie różniczkowe z warunkiem początkowym y(0)=0
\(\frac{dy}{dx} = e^{(x-y)}\)
Zad.2 Za pomocą całki obliczyć obszar (nie mam pojęcia jak go narysować) pomiędzy krzywymi:
x+y=\(\pi\)
y=0
y=x
Zad.3 Obliczyć całkę: \(\int_{}^{} x\;dy\) ograniczoną krzywymi : gdzie A(-a,0), B(0,a), C(a,0)
Równanie różniczkowe i całki
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Guru
- Posty: 17549
- Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękowania: 41 razy
- Otrzymane podziękowania: 7435 razy
- Płeć:
Re: Równanie różniczkowe i całki
\(\frac{dy}{dx} = e^{(x-y)}\)Alaa pisze:Prosiłabym o rozwiązanie krok po kroku
Zad.1 Rozwiąż równanie różniczkowe z warunkiem początkowym y(0)=0
\(\frac{dy}{dx} = e^{(x-y)}\)
\(\frac{dy}{dx} = \frac{e^x}{e^y}\)
\(\int_{}^{} e^ydy= \int_{}^{} e^xdx\)
\(e^y=e^x+C\)
\(y=ln(e^x+C)\)
uwzględniając warunek początkowy mamy:
\(0=ln(1+C)\)
czyli \(C=0\)
ostatecznie więc szukane równanie to \(y=x\)
-
- Guru
- Posty: 17549
- Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękowania: 41 razy
- Otrzymane podziękowania: 7435 razy
- Płeć:
Re: Równanie różniczkowe i całki
obrazek jest taki: a rachunek taki :Alaa pisze:
Zad.2 Za pomocą całki obliczyć obszar (nie mam pojęcia jak go narysować) pomiędzy krzywymi:
x+y=\(\pi\)
y=0
y=x
\(\displaystyle \int_{0}^{ \frac{ \pi }{2} }-x+ \pi -x\ dx=\int_{0}^{ \frac{ \pi }{2} }-2x+ \pi \ dx= \left[-x^2+ \pi x \right]_{0}^{ \frac{ \pi }{2} }=- \frac{ \pi ^2}{4}+\frac{ \pi ^2}{2}=\frac{ \pi ^2}{4}\)
(Trzeba by to wprawdzie obrócić o 90 stopni ale wynik jest dobry - obrót to izometria, nie zmienia pola )
Dziękuje za pomoc
Mam kolejne zad przy którym się zacięłam i nie wiem co dalej jak obliczyć obszar D \(\int_{}^{} \int_{}^{} ysin\frac{xy^2}{2}\) ograniczony krzywymi : x=0 , y=\(\sqrt{ \pi }\) , y=\(\frac{x}{2}\) za stałą granicę przyjęłam \(0\le y \le \ \ \sqrt{ \pi }\) a zmienną \(0\le x \le 2y\) jeśli policzyłam całkę po dx i podstawiłam za x to dostałam całkę \(\int_{}^{} \frac{-2}{y} \cos y^3dy\) z którą nie wiem jak sobie poradzić no chyba, że wcześniej mam gdzieś błąd, albo można ten obszar obliczyć w łatwiejszy sposób.
Mam kolejne zad przy którym się zacięłam i nie wiem co dalej jak obliczyć obszar D \(\int_{}^{} \int_{}^{} ysin\frac{xy^2}{2}\) ograniczony krzywymi : x=0 , y=\(\sqrt{ \pi }\) , y=\(\frac{x}{2}\) za stałą granicę przyjęłam \(0\le y \le \ \ \sqrt{ \pi }\) a zmienną \(0\le x \le 2y\) jeśli policzyłam całkę po dx i podstawiłam za x to dostałam całkę \(\int_{}^{} \frac{-2}{y} \cos y^3dy\) z którą nie wiem jak sobie poradzić no chyba, że wcześniej mam gdzieś błąd, albo można ten obszar obliczyć w łatwiejszy sposób.
I czy mógłby mi ktoś wytłumaczyć współrzędne biegunowe bo mam problem z określeniem kąta i promienia szperałam troszeczkę po internecie, ale nic ciekawego nie znalazłam i dalej ich nie mogę zrozumieć . Wiem że jeżeli mam równanie postaci np. \(x^2+y^2=4\) gdzie całkuję od środka układu współrzędnych i moje \(0\le r \le 2\) a \(0 \le φ \le 2 \pi\) to potrafię obliczyć(daną całkę podwójną po tym obszarze), ale jeśli np. mam równanie typu \((x-1)^2+y^2=1\) lub \((x-5)(y+2)=9\) albo jest to jakiś wycinek,ćwiartka, koła to od czegoś zależy ten kąt i r (czy bierzemy wtedy pod uwagę ćwiartkę w której sie znajduje czy to nie mam wpływu i zawsze bierze się kąt od 0 do \(2 \pi\))