Bardzo prosze o pomoc w rozwiazaniu tych zadan
1.Ile trzeba wykonać średnio rzutów kostką, by otrzymać szóstkę.
2.Dwie osoby przychodzą na miejsce spotkania w przedziale czasowym [0,1] . Znaleźć wartość średnią czasu oczekiwania, która przyszła pierwsza.
srednia wartosc
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Fachowiec
- Posty: 2946
- Rejestracja: 20 gru 2013, 21:41
- Lokalizacja: Radom
- Otrzymane podziękowania: 1556 razy
- Płeć:
Re: srednia wartosc
Niech zmienna losowa \(X\) przyjmuje wartość : liczba rzutów do otrzymania \(6\) po raz pierwszy, czyli \(X=n\) , gdzie \(n \in \left\{1,2,3,... \right\}\)
Wtedy \(P( X= n)=( \frac{5}{6} )^{n-1} \cdot \frac{1}{6}\) --czyli jest to zmienna o rozkładzie geometrycznym.
Wtedy poszukiwana średnia liczba rzutów kostką do otrzymania po raz pierwszy \(6\) to
\(EX= \sum_{n=1}^{ \infty }n \cdot ( \frac{5}{6} )^{n-1} \cdot \frac{1}{6}= \frac{1}{6}\sum_{n=1}^{ \infty }n \cdot ( \frac{5}{6} )^{n-1}\)
................................................................................................
do policzenia trzeba zróżniczkować szereg \(\sum_{n=0}^{ \infty } x^n\) ( dla \(|x|<1\) )
\(( \sum_{n=0}^{ \infty } x^n )' =1+2x^1+3x^2+.....=( \frac{1}{1-x} )'= \frac{1}{(1-x)^2}\)
Dla \(x=\frac{5}{6}\) jest : \(\\) \(EX= \frac{1}{6}\sum_{n=1}^{ \infty }n \cdot ( \frac{5}{6} )^{n-1}= \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{(1- \frac{5}{6} )^2}=6\)
Wtedy \(P( X= n)=( \frac{5}{6} )^{n-1} \cdot \frac{1}{6}\) --czyli jest to zmienna o rozkładzie geometrycznym.
Wtedy poszukiwana średnia liczba rzutów kostką do otrzymania po raz pierwszy \(6\) to
\(EX= \sum_{n=1}^{ \infty }n \cdot ( \frac{5}{6} )^{n-1} \cdot \frac{1}{6}= \frac{1}{6}\sum_{n=1}^{ \infty }n \cdot ( \frac{5}{6} )^{n-1}\)
................................................................................................
do policzenia trzeba zróżniczkować szereg \(\sum_{n=0}^{ \infty } x^n\) ( dla \(|x|<1\) )
\(( \sum_{n=0}^{ \infty } x^n )' =1+2x^1+3x^2+.....=( \frac{1}{1-x} )'= \frac{1}{(1-x)^2}\)
Dla \(x=\frac{5}{6}\) jest : \(\\) \(EX= \frac{1}{6}\sum_{n=1}^{ \infty }n \cdot ( \frac{5}{6} )^{n-1}= \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{(1- \frac{5}{6} )^2}=6\)