Przykładowe zadania maturalne

[Goska123]

1. Trapez prostokątny ABCD, w którym bok AB jest równoległy do boku CD, \(| \angle DAB|\)=90', |AB|=6, |DC|=4, |AD|=2, obraca się wokół prostej, zawierającej bok AB. Oblicz pole powstałej bryły obrotowej.

2. Rozwiąż nierówność \(-12x^{2}-x+1<0\)

3. Rozwiąż równanie \(x^{3}+x^{2}-9x-9=0\)

4. Wiadomo, że \(\log_2 3=a\). Wykaż, że \(\log_4 \frac{1}{27}=- \frac{3}{2}a\).

5. Trzy liczby, których suma jest równa 49, tworzą ciąg geometryczny. Jeśli do pierwszej liczby dodamy 4, do drugiej dodamy 1, a od trzeciej odejmiemy 9, to otrzymamy ciąg arytmetyczny. Wyznacz te liczby.

6. Objętość stożka jest równa \(1000 \pi\), a tworząca tworzy z podstawą kąt 30'. Oblicz pole powierzchni bocznej tego stożka.

7. Przekątna prostopadłościanu ma długość d i tworzy z każdą ścianą boczną kąt \(\alpha\).
a) Uzasadnij, że podstawa tego prostopadłościanu jest kwadratem.
b) Oblicz pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu w przypadku, gdy d=10 cm i \(\alpha\)=30'.

8. W pudełku jest 12 kartek z liczbami od 1 do 12. Losujemy jedną kartkę i odczytujemy liczbę zapisaną na niej. Rozpatrujemy następujące zdarzenia:
A - wylosowano liczbę podzielną przez 3
B - wylosowano liczbę parzystą
a) Opisz słowami zdarzenia: \(A \cap B, A \cup B, A - B, B - A\) i wypisz zdarzenia elementarne sprzyjające każdemu z tych zdarzeń.
b) Oblicz \(P(A' \cup B')\)

Moje odpowiedzi do zadań zamkniętych:
1. A
2. B
3. -
4. C
5. C
6. D
7. C
8. -
9. C
10. B
11. -
12. -
13. B
14. A
15. A
16. -
17. C
18. -
19. D
20. B
21. -
22. -
23. C
24. -
25. -

Proszę o sprawdzenie moich odpowiedzi i poprawienie ich oraz rozwiązanie pozostałych zadań

[irena]

Zamknięte:
1. A
2. B
3. C
4. C
5. A
6. D
7. C
8. B
9. C
10. B
11. C
12. D
13. C
14. A
15. D
16. C
17. C
18. A
19. D
20. B
21. D
22. A
23. C
24. B
25. D

[irena]

1.
Otrzymuje się walec i stożek złączone podstawami.
Wysokość walca=4, promień podstawy walca i stożka=2, tworząca stożka ( z twierdzenia Pitagorasa \(l^2=2^2+2^2,\ l=2\sqrt{2}\))

Powierzchnia tej bryły składa się z podstawy walca, powierzchni bocznej walca i powierzchni bocznej stożka.
\(P_c=\pi\cdot2^2+2\pi\cdot2\cdot4+\pi\cdot2\cdot2\sqrt{2}=4\pi(5+\sqrt{2})\)

2.
\(-12x^2-x+1<0\\\Delta=1+48=49\\x_1=\frac{1-7}{-24}=\frac{1}{4}\ \vee \ x_2=\frac{1+7}{-24}=-\frac{1}{3}\\x \in (- \infty ,\ -\frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{4},\ \infty )\)

[irena]

3.
\(x^3+x^2-9x-9=0\\x^2(x+1)-9(x+1)=0\\(x+1)(x^2-9)=0\\(x+1)(x-3)(x+3)=0\\x_1=-1\ \vee \ x_2=3\ \vee \ x_3=-3\)

4.
\(log_23=a\\log_4\frac{1}{27}=log_43^{-3}=-3log_43=-3\cdot\frac{log_23}{log_24}=-3\cdot\frac{a}{2}=-\frac{3}{2}a\)

[irena]

5.
a, b, c - szukane liczby

(a, b, c)- ciąg geometryczny

(a+4, b+1, c-9)- ciąg arytmetyczny

a+b+c=49

\(2(b+1)=a+4+c-9\\2b+2=a+c-5\\a+c=2b+7\\b+2b+7=49\\3b=42\\b=14\\ \begin{cases}ac=14^2\\a+c=49-14 \end{cases} \\ \begin{cases}c=35-a\\a(35-a)=196 \end{cases} \\-a^2+35a-196=0\\\Delta=1225-784=441\\\sqrt{\Delta}=21\\a_1=\frac{-35-21}{-2}=28\ \vee \ a_2=\frac{-35+21}{-2}=7\\c_1=7\ \vee \ c_2=28\)

Szukane liczby to: \(\begin{cases}a=7\\b=14\\c=28 \end{cases} \ \vee \ \begin{cases}a=28\\b=14\\c=7 \end{cases}\)

[irena]

6.
\(\frac{1}{3}\pi\ r^2H=1000\pi\\r^2H=3000\\\frac{H}{r}=tg30^o\\\frac{H}{r}=\frac{\sqrt{3}}{3}\\H=\frac{r\sqrt{3}}{3}\\r^2\cdot\frac{r\sqrt{3}}{3}=3000\\r^3\sqrt{3}=9000\\r^3=3000\sqrt{3}=1000\cdot3^{\frac{3}{2}}\\r=10\sqrt{3}\\\frac{r}{l}=cos30^o\\\frac{10\sqrt{3}}{l}=\frac{\sqrt{3}}{2}\\l=20\\P_b=\pi\ rl\\P_b=\pi\cdot10\sqrt{3}\cdot20\\P_b=200\sqrt{3}\pi\)

[irena]

7.
a,b- krawędzie podstawy prostopadłościanu, H- wysokość \(\alpha\)- kąt dany w zadaniu
Kąt nachylenia przekątnej prostopadłościanu do ściany bocznej to kąt między tą przekątną a przekątną ściany bocznej.
Mamy tu dwa trójkąty prostokątne:
- trójkąt o przyprostokątnych a i \(\sqrt{b^2+H^2}\) i przeciwprostokątnej d
- trójkąt o przyprostokątnych b i \(\sqrt{a^2+H^2}\) i przeciwprostokątnej d.

\(\alpha \in (0^o,\ 90^o)\\sin\alpha=\frac{b}{d}\\sin\alpha=\frac{a}{d}\\\frac{a}{d}=\frac{b}{d} \Rightarrow a=b\)

\(\frac{a}{10}=sin30^o\\\frac{a}{10}=\frac{1}{2}\\a=5\\H^2+5^2=10^2\\H^2=75\\H=5\sqrt{3}\)

\(P_c=2a^2+4aH\\P_c=2\cdot5^2+4\cdot5\cdot5\sqrt{3}\\P_c=50+100\sqrt{3}=50(1+2\sqrt{3})cm^2\)

[irena]

8.
\(A= \left\{3,\ 6,\ 9,\ 12 \right\}\)

\(B= \left\{2,\ 4,\ 6,\ 8,\ 10,\ 12 \right\}\)

\(A \cap B\)- wylosowano liczbę podzielną przez 6

\(A \cup B\)- wylosowano liczbę podzielną przez 2 lub podzielną przez 3

\(A \setminus B\)- wylosowano liczbę nieparzystą, podzielną przez 3

\(B \setminus A\)- wylosowano liczbę parzystą, niepodzielną przez 3

\(A \cap B= \left\{6,\ 12 \right\}\)

\(A \cup B= \left\{2,\ 3,\ 4,\ 6,\ 8,\ 9,\ 10,\ 12 \right\}\)

\(A \setminus B= \left\{3,\ 9 \right\}\)

\(B \setminus A= \left\{2,\ 4,\ 8,\ 10 \right\}\)

\(A' \cup B'=(A \cap B)'\\P(A' \cup B')=1-P(A \cap B)\\P(A' \cup B')=1-\frac{2}{12}=\frac{5}{6}\)

[Goska123]

Dzięki!