pole

[kasia20]

obliczyc pole obszaru ograniczonymi liniami:
a)\(y=sin^2x,y=cos^2x\) ,
b)\(y=sinx,y=-sinx\)
c)\(x^2-4x+y^2=0, y^2-4y+x^2=0\)
odpowiedzi
a)1
b)4
c)2 \pi -4

[radagast]

obliczyc pole obszaru ograniczonymi liniami:
a)\(y=sin^2x,y=cos^2x\) ,

przypuszczam , że chodzi o takie pole:

ScreenHunter_887.jpg (57.79 KiB) Przejrzano 487 razy

a to jest \(\displaystyle \int_{- \frac{ \pi }{4} }^{\frac{ \pi }{4} }cos^2x-sin^2x dx=\int_{- \frac{ \pi }{4} }^{\frac{ \pi }{4} }cos2x dx= \left[ \frac{1}{2}sin2x \right]_{- \frac{ \pi }{4} }^{\frac{ \pi }{4} }= \frac{1}{2} \left(1-(-1) \right)=1\)

[Galen]

Zad.b
Rozumiem,że chodzi o pole obszaru między wykresami funkcji y=sinx i y=-sinx, na przedziale [0;\pi].
\(\int_{}^{} [sinx-(-sinx)]dx= \int_{}^{} (sinx+sinx)dx= \int_{}^{} 2sinxdx=2 \int_{}^{} sinxdx=-2cosx\\
P= \int_{0}^{\pi}2sinxdx=[-2cosx]^{\pi}_0=-2 \cdot (-1)-(-2) \cdot 1 =2+2=4\)

[Galen]

Zad.c
Zapisz równania okręgów w postaci kanonicznej:
\((x-2)^2+(y-0)^2=2^2\\(x-0)^2+(y-2)^2=2^2\)
Są to okręgi o promieniu r=2
Środek pierwszego to punkt (2;0),
środek drugiego to punkt (0;2).
Narysuj te okręgi i zobaczysz jak wygląda obszar wycięty tymi okręgami.
Pole tej "soczewki" obliczysz biorąc pole wycinka koła i pole trójkąta prostokątnego.
Najpierw pole odcinka koła nad odcinkiem o końcach (0;0) i (2;2):
\(P= \frac{1}{4}\pi r^2- \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = \frac{1}{4} \pi \cdot 2^2-2=\pi-2\)
Tak masz obliczone pół pola soczewki ,no to pomnóż wynik przez 2 i masz całe pole.
\(P_{soczewki}=2(\pi-2)=2\pi-4\)

[kasia20]

dlaczego w przykladzie a całka z cos^2x-sin^x wynosi 1/2 sin2x? a nie powinno byc sinx cosx??

[eresh]

dlaczego w przykladzie a całka z cos^2x-sin^x wynosi 1/2 sin2x? a nie powinno byc sinx cosx??

to jest to samo:
\(\frac{1}{2}\sin 2x=\frac{1}{2}\cdot 2\sin x\cos x=\sin x\cos x\)