Równania i nierówności z parametrem

[Patrycja_59]

1) Dane są dwie funkcje kwadratowe: \(f(x) = -2x^2 + mx + 8\) oraz \(g(m) = mx^2 -4\), gdzie \(m\) jest liczbą rzeczywistą różną od zera.
a) Wyznacz wartości parametru \(m\), dla którego funkcja \(f\) przyjmuje największą wartość, równą 10.
b) Dla wyznaczonej w punkcie a) większej wartości \(m\) rozwiąż nierówność \(g(x) > 0\).
c) Dla \(m = 3\) rozwiąż równanie \(f(x + 1) = 2 - g(x - 1)\).

2) Dla jakich wartości parametru \(m\) rozwiązania \(x_1\), \(x_2\) równania \(4x^2 - 15x + 4m^2 = 0\) spełniają warunek \(x_1 = x_2^2\).

3) Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których rozwiązania \(x_1\), \(x_2\) równania \(x^2 - (2m + 1)x + m^2 + 2 = 0\) spełniają warunek \(x_1 = 2x_2\).

4) Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których każde z dwóch różnych rozwiązań równania \(x^2 - (2m - 3)x + m = 0\) jest mniejsze od \(m\).

5) Dla jakich wartości parametru \(m\) rozwiązania \(x_1\), \(x_2\) równania \(2x^2 - 2(2m + 1)x + m(m - 1) = 0\) spełniają warunek \(x_1 < m < x_2\)?

[kacper218]

W czym jest konkretnie problem? sporo tych zadań

[Galen]

Zad.1
a)Wartość funkcji w wierzchołku paraboli ma być równa 10.
\(f(x)=-2x^2+mx+8\\
x_{w}=\frac{-m}{-4}=\frac{m}{4}\\
y_w=f(x_w)=10\\
f(\frac{m}{4})=-\frac{m^2}{8}+2\frac{m^2}{8}+8=10\\
\frac{m^2}{8}=2\\
m^2=16\\m=-4\;\;\;\;\;lub\;\;\;\;\;\;\;m=4\)
Wierzchołek paraboli dla m=-4 to W=(1;10)
dla m=4 jest W=(-1;10).
b)
\(m=4\\
g(x)>0\\
4x^2-4>0\\
x^2-1>0\\
(x+1)(x-1)>0\\
x\in(-\infty;-1)\cup (1;+\infty)\)
c)
Przygotuj wzory funkcji dla m=3
\(f(x-1)=-2(x+1)^2+3(x+1)+8=-2x^2-x+9\\
g(x-1)=3(x-1)^2-4=3x^2-6x-1\) \[f(x+1)=2-g(x-1)\] \[-2x^2-x-9=2-3x^2+6x+1\] \(x^2-7x+6=0\)
\(x_1=1\;\;\;\;\;i\;\;\;\;\;x_2=6\)

[Patrycja_59]

Kacper, tych zadań jest dużo więcej, ja dodaję tylko niektóre z nich. Zostało ich tylko 11, więc keep calm

[kacper218]

Jedynym problemem który tu występuje może być wypisanie warunków. Potem to tylko rachunki...
I 100 zadań ci nie pomoże jeśli nie rozumiesz tematu Wystarczy 4 zrobione i zrozumiane i każde następne to pikuś

[Patrycja_59]

Zależy dla kogo. Zresztą, po to forum istnieje, żeby pomagać.

[kacper218]

Jeśli przez pomoc niektórzy rozumieją gotowce to jest to żadna pomoc.

[kacper218]

Zadanie 2
\(\begin{cases}
\Delta\ge 0\\
x_1=x_2^2
\end{cases}\)
Trzecie analogicznie.

[Patrycja_59]

A gdzie napisałam, że chodzi mi o gotowce?

[kacper218]

Zadanie 4
\(\begin{cases}
\Delta>0\\
x_1<m\\
x_2<m
\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}
\Delta>0\\
x_1-m<0\\
x_2-m<0
\end{cases}\)
I teraz na wzory Viete'a tak jakby pierwiastkami były liczby \(x_1-m\) i \(x_2-m\)

Ostatnie analogicznie.

[octahedron]

\(2)\,x_1+x_2=x_2^2+x_2=\frac{15}{4}\\
x_2=\frac{3}{2}\,\vee\,x_2=-\frac{5}{2}\\
x_1\cdot x_2=x_2^3=m^2\\
m^2\ge 0\Rightarrow m^2=\left(\frac{3}{2}\right)^3\Rightarrow \boxed{m=\pm\frac{3\sqrt{6}}{4}}\)

[octahedron]

\(3)\,x_1+x_2=3x_2=2m+1\Rightarrow x_2=\frac{2m+1}{3}\\
x_1\cdot x_2=2x_2^2=2\left(\frac{2m+1}{3}\right)^2=m^2+2\\
8m^2+8m+2=9m^2+18\\
m^2-8m+16=0\\
\boxed{m=4}\)

[Patrycja_59]

Dziękuję Octahedron

[octahedron]

\(4)\,f(x)=x^2-(2m-3)x+m\\
\Delta=(2m-3)^2-4m=4m^2-16m+9=4(m-2)^2-7>0\Rightarrow m\in\left(-\infty,2-\frac{\sqrt{7}}{2}\right)\cup\left(2+\frac{\sqrt{7}}{2},\infty\right)\\
\text{wierzchołek paraboli: }x_w=\frac{2m-3}{2}=m-\frac{3}{2}\text{, czyli }m>x_w>x_1\text{, natomiast }x_2<m\text{, gdy: }\\
f(m)=m^2-(2m-3)m+m=-m^2+4m=-m(m-4)>0\Rightarrow m\in(0,4)\\
\text{stąd: }\boxed{m\in\left(0,2-\frac{\sqrt{7}}{2}\right)\cup\left(2+\frac{\sqrt{7}}{2},4\right)}\)

[octahedron]

\(5)\) parabola \(f(x)=2x^2-2(2m + 1)x+m(m - 1)\) ma ramiona w górę, więc wystarczy, że:
\(f(m)=2m^2-2m(2m+1)+m(m-1)=-m^2-3m=-m(m+3)<0 \Rightarrow\boxed{m\in(-\infty,-3)\cup(0,\infty)}\)