Wzory Viete'a

[Patrycja_59]

1) Napisz równanie kwadratowe, które ma dwa rozwiązania \(x_1 = \frac{a}{b}\) oraz \(x_2 = \frac{b}{a}\), gdzie \(a \neq 0\) i \(b \neq 0\).

2) Liczby \(4 - 2 \sqrt{3}\) oraz \(4 + 2 \sqrt{3}\) są rozwiązaniami równania \(x^2 + (p + q)x + p^2 - q^2 = 0\). Oblicz \(p\) i \(q\).

3) Funkcja kwadratowa \(f\) ma dwa miejsca zerowe \(x_1\), \(x_2\), takie, że \(x_1 \cdot x_2 = -12\). Dla argumentu \(0,5\) funkcja \(f\) przyjmuje największą wartość, równą \(3 \frac{1}{16}\). Napisz wzór funkcji \(f\) w postaci ogólnej.

4) Funkcja kwadratowa \(f\) ma dwa miejsca zerowe \(x_1\), \(x_2\), takie, że \(\frac{1}{x_1^2} + \frac{1}{x_2^2} = 7\) i \(x_1 \cdot x_2 =1\). Do wykresu funkcji \(f\) należy punkt \(A(-2, -6)\). Napisz wzór funkcji \(f\) w postaci ogólnej.

5) Ułóż równanie kwadratowe takie, aby:
a) suma rozwiązań równania była równa \(2\) i suma kwadratów tych rozwiązań wynosiła \(16\)
b) suma rozwiązań równania była równa \(5\) i kwadrat różnicy tych rozwiązań wynosił \(37\)
c) suma rozwiązań równania była równa \(- 5\) i suma odwrotności tych rozwiązań wynosiła \(10\)

[Galen]

Zad.1 Tu nie są potrzebne wzory Viete'a,a tylko postać iloczynowa funkcji kwadratowej.
\((x-\frac{a}{b})(x-\frac{b}{a})=0\\
x^2-\frac{a}{b}x-\frac{b}{a}x+1=0\;/\cdot ab\\
abx^2-(a^2+b^2)x+ab=0\)

[ef39]

1
wykorzystując postać iloczynową możemy ułożyć np
\((x- \frac{a}{b})(x- \frac{b}{a} )=0\\
x^2-x \frac{b}{a}-x \frac{a}{b}+1=0\\\)|ab
\(abx^2-(b^2+a^2)+ab=0\)

[Galen]

Zad.2
\(x_1=4-2\sqrt{3}\\x_2=4+2\sqrt{3}\\
x_1+x_2=8=\frac{-b}{a}\\
x_1\cdot x_2=16-12=4=\frac{c}{a}\\
c=4a\\
b=-8a\)
\(b=p+q\;\;\;\;i\;\;\;c=p^2-q^2=(p+q)(p-q)\\
-8a=p+q\;\;\;i\;\;\;4a=(p+q)(p-q)=-8a(p-q)\;\;\; \Rightarrow 4a=-8a(p-q)\)
\(p-q=-\frac{1}{2}\;\;\;i\;\;\;p+q=8\)
Z tego układu masz p i q.

[ef39]

2
\(4-2 \sqrt{3}+4+2 \sqrt{3}=-(p+q) \Rightarrow p+q=-8\\
(4-2 \sqrt{3} )(4+2 \sqrt{3} )=p^2-q^2 \Rightarrow p^2-q^2=4 \Rightarrow (p-q)(p+q)=4 \Rightarrow (p-q)=- \frac{1}{2}\\
\begin{cases}p+q=-8\\p-q=- \frac{1}{2} \end{cases}\\
p=-4 \frac{1}{4}\\
q=-3 \frac{3}{4}\)

[radagast]

3) Funkcja kwadratowa \(f\) ma dwa miejsca zerowe \(x_1\), \(x_2\), takie, że \(x_1 \cdot x_2 = -12\). Dla argumentu \(0,5\) funkcja \(f\) przyjmuje największą wartość, równą \(3 \frac{1}{16}\). Napisz wzór funkcji \(f\) w postaci ogólnej.

\(f(x)=ax^2+bx+c\)
przy czym:
\(a<0\)
\(\frac{c}{a}=-12\)
\(\frac{-b}{2a}=0,5\)
\(-\frac{b^2-4ac}{4a}=3 \frac{1}{16}\)
No to należy rozwiązać taki układ równań \(\begin{cases}\frac{c}{a}=-12\\ \frac{-b}{2a}=0,5\\-\frac{b^2-4ac}{4a}=3 \frac{1}{16}\end{cases}\)
przy założeniu \(a<0\) i po krzyku.
Mi wychodzi \(a=- \frac{49}{196}\\b= \frac{49}{196}\\c=- \frac{849}{98}\) ale mogłam sie pomylić.

[radagast]

4) Funkcja kwadratowa \(f\) ma dwa miejsca zerowe \(x_1\), \(x_2\), takie, że \(\frac{1}{x_1^2} + \frac{1}{x_2^2} = 7\) i \(x_1 \cdot x_2 =1\). Do wykresu funkcji \(f\) należy punkt \(A(-2, -6)\). Napisz wzór funkcji \(f\) w postaci ogólnej.

1) \(x_1 \cdot x_2 =1 \Rightarrow a=c\)
2) \(\frac{1}{x_1^2} + \frac{1}{x_2^2} = \frac{x_1^2+x_2^2}{x_1^2x_2^2} = \frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{(x_1x_2)^2}= \frac{ \left(-\frac{b}{a} \right) ^2- 2}{1}=7 \Rightarrow \frac{b^2}{a^2} =9 \Rightarrow b^2=9a^2\)
3) \(A \in graf_f \Rightarrow a \cdot (-2)^2+b \cdot(-2)+c=-6 \Rightarrow 4a-2b+a=-6 \Rightarrow 5a-2b=-6\)
Tu również należy rozwiązać układ równań . Tym razem taki:
\(\begin{cases} a=c\\ b^2=9a^2\\5a-2b=-6 \end{cases}\)
I udzielić odpowiedzi .

[Galen]

Zad.4
Szukasz wzoru w postaci \(f(x)=ax^2+bx+c\)
\(\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}=\frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{(x_1x_2)^2}\;\;\;\;i\;podstaw\;\;x_1x_2=1\)
\(\frac{(x_1+x_2)^2-2\cdot 1}{1^2}=7\;\;czyli\;\;(x_1+x_2)^2=9\)
Podstaw wzór Viete,a
\((\frac{-b}{a})^2=9\\
b^2=9a^2\;\;\;\;zatem\;\;\;\;b=3|a|\;\; \Rightarrow \;b=3a\;dla\;a>0\;\;lub\;\;b=-3a\;\;dla\;a<0\)
Z równości \(x_1x_2=\frac{c}{a}=1\) jest \(c=a\)
Wzór funkcji :
\(y=ax^2+3ax+a\;\;i\;a>0\;\;\;\;lub\;\;\;\;\;y=ax^2-3ax+a\;\;i\;a<0\)
Podstaw współrzędne punktu (-2;-6) i oblicz a.
\(f(-2)=4a-6a+a=-6\;\;a>0\;\;\;\;lub\;\;\;\;\;\;4a+6a+a=-6\;\;a<0\)
\(a=6\;\;i\;\;b=18\) w drugim przypadku jest \(a=\frac{-6}{11}\;\;i\;\;b=\frac{18}{11}\) wtedy funkcja ma wzor:
\(f(x)=6x^2+18x+6\;\;\;druga\;funkcja\;\;f(x)=\frac{-6}{11}x^2+\frac{18}{11}x- \frac{6}{11}\)

[Galen]

Zad.5
a)
\(x_1+x_2=\frac{-b}{a}=2\;\;\; \Rightarrow \;\;b=-2a\)
drugi warunek:
\(x_1^2+x_2^2=16\;\; \Leftrightarrow \;\;(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=16\;\; \Rightarrow \;\; \frac{b^2}{a^2}-2 \frac{c}{a}=16\)
Podstaw b=-2a
\(\frac{4a^2}{a^2}- \frac{2c}{a}=16\\
\frac{c}{a}=-6\\
c=-6a\)
Masz wzory na b i c zależnie od a
Funkcja ma wzór :
\(f(x)=ax^2-2ax-6a\)

[Galen]

5b)
\(x_1+x_2=5\\\frac{-b}{a}=5\;\;\;\;\;\;\;\; \Rightarrow \;\;\;\;\;\;b=-5a\\
(x_1-x_2)^2-4x_1x_2=37\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \Rightarrow \;\;\;\;\;\;5^2-4\frac{c}{a}=37\;\;\;\;\;\;c=-3a\\
f(x)=ax^2-5a-3a\;\;\;\;\;\;i\;\;\;\;a \neq 0\)
5c)
\(x_1+x_2=-5\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\; \frac{-b}{a}=-5\;\;\;\; \Rightarrow \;\;b=5a\\
\frac{1}{x_1}+ \frac{1}{x_2}=10\;\; \Leftrightarrow \;\; \frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=10\; \Rightarrow \; \frac{-5}{x_1x_2}=10\\
x_1x_2=- \frac{1}{2}\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\; \frac{c}{a}=- \frac{1}{2}\;\;\;\;\;\; \Rightarrow \;\;\;\;c=-0,5a\\
f(x)=ax^2+5ax-0,5a\;\;\;\;i\;\;\;\;\;a \neq 0\)