Zaznacz w układzie wspołdrzędnych

[Lukasz44]

Witam, prosze o pomoc w tych zadaniach:
1.Zaznacz w układzie wspołdrzędnych zbiór wszystkich punktów, których współrzędne spełniają nierówność:
1+\(log_4(x^2+y^2)\)+\(log_4^2(x^2+y^2)\)+....\(\le\) \(\frac{1}{log_4(x^2+y^2)\)

2.Zaznacz na płaszczyźnie zbiór wszystkich punktów o współrzednych (x.y) takich, że szereg geometryczny:

1+\(log_yx\)+\(log_y^2x\)+...+\(log_y^(n-1)x\)+... jest zbieżny





To \(log_y^(n-1)x\) n-1 ma być nad x( tak jak \(log_4^2x\)) tylko nie wiem jak to zrobić.

[kacper218]

wyznacz dziedzinę. tzn określ kiedy te sumy istnieją. potem wykonaj sumowanie i otrzymasz proste nierówności

[Lukasz44]

Doszedłem przy sumowaniu do takiego czegoś:
1+t+t^2+t\(\le\)\(\frac{1}{t^2}\)

t^4+t^3+t^2-1\(\le\)0

(t^3+t-1)(t+1)\(\le\)0

I nie wiem co dalej z tym zrobic ;/

[anka]

Witam, prosze o pomoc w tych zadaniach:
1.Zaznacz w układzie wspołdrzędnych zbiór wszystkich punktów, których współrzędne spełniają nierówność:
\(1+log_4(x^2+y^2)\)+\(log_4^2(x^2+y^2)\)+....\(\le\) \(\frac{1}{log_4(x^2+y^2)\)

Ma inną nierówność.
Lewa strona to suma ciągu geometrycznego.
\(a_1=1\)
\(q=log_4(x^2+y^2)\)

\(S_n= \frac{a_1}{1-q}= \frac{1}{1-log_4(x^2+y^2)}\)

Podstawiając \(log_4(x^2+y^2)=t\)

\(\frac{1}{1-t} \le \frac{1}{t}\)

\(\frac{1}{1-t}- \frac{1}{t} \le 0\)

\(\frac{t-(1-t)}{t(1-t)} \le 0\)

\(\frac{t-1+t}{t(1-t)} \le 0\)

\(\frac{2t-1}{t(1-t)} \le 0\)

\((2t-1)t(1-t) \le 0\)

[Lukasz44]

A w taki sposób się te zadania robi ;d

[anka]

To jeszcze nie koniec. Musisz rozwiązać nierówność i wrocić do podstawienia.
Z nierówności powinno wyjść:
\(t\in(0, \frac{1}{2}> \cup <1,+ \infty )\)
czyli
\(\begin{cases}log_4(x^2+y^2)>0\\log_4(x^2+y^2) \le \frac{1}{2} \end{cases}\) lub \(log_4(x^2+y^2)>1\)

[Lukasz44]

Wiem dzięki już dalej sobie poradzilem, początek mi sprawiał problem.

[Lukasz44]

Wyszedł taki obwarzanek (1<x^2+y^2<=2)
A w tym drugim?

a1=1

q= \(log_yx\)

\(log_yx\)<1

y\(\in\)(0,1) y<x


y\(\in\)(1, \(\infty\) ) y>x

[anka]

W tym drugim do potęgi podnoszony jest logarytm?

[Lukasz44]

Tak jest podniesiony.

[anka]

Założenia to:
\(x>0,y\in(0,1) \cup (1,+ \infty )\)
\(q= log_yx\)
O ile się nie mylę, żeby był zbieżny to
\(|q|<1\)