stożek !

[ewciaxxx]

oblicz objętość stożka, którego pole podstawy jest równe 16, a pole powierzchni bocznej wynosi 20

[agulka]

\(\pi r^2= 16\\
r^2=\frac{16}{\pi}\\
r=\frac{4\sqrt{\pi}}{\pi}\)

\(\pi r l =20\)
\(l=\frac{20}{\pi r} = \frac{20}{\pi \cdot \frac{4\sqrt{\pi}}{\pi}} = \frac{5\sqrt{\pi}}{\pi}\)

\(h=\sqrt{l^2-r^2} = \sqrt{\frac{25}{\pi} - \frac{16}{\pi}} = \frac{3\sqrt{\pi}}{\pi}\)


\(V=\frac{1}{3} \pi r^2 \cdot h = \frac{1}{3}\pi \cdot \frac{16}{\pi} \cdot \frac{3\sqrt{\pi}}{\pi} = \frac{16\sqrt{\pi}}{\pi}\)

[irena]

\(\{\pi r^2=16\\\pi rl=20\)

\(\frac{r}{l}=\frac{4}{5}\\l=\frac{5}{4}r\\r^2=\frac{16}{\pi}\\r=\frac{4}{\sqrt{\pi}}\\l=\frac{5}{4}\cdot\frac{4}{\sqrt{\pi}}=\frac{5}{\sqrt{\pi}}\)

\(H^2+r^2=l^2\\H^2=\frac{25}{\pi}-\frac{16}{\pi}=\frac{9}{\pi}\\H=\frac{3}{\sqrt{\pi}}\)

\(V=\frac{1}{3}\cdot16\cdot\frac{3}{\sqrt{\pi}}=\frac{16}{\sqrt{\pi}}\)

[Galen]

Pole podstawy pozwoli obliczyć promień.
\(\pi\cdot r^2=16\\
r=\sqrt{\frac{16}{\pi}}=\frac{4}{\sqrt{\pi}}\)
Pole boczne stożka \(\pi\cdot r\cdot l\) ,obliczysz tworzącą l.
\(\pi r l=20\\
l=\frac{20}{\pi r}=\frac{20}{\pi\cdot \frac{4}{\sqrt{\pi}}}=\frac{20}{4\sqrt{\pi}}=\frac{5}{\sqrt{\pi}}\)
Potrzebna jest wysokość h,którą obliczysz z tw.Pitagorasa
\(h^2+r^2=l^2\\
h^2=l^2-r^2=\frac{25}{\pi}-\frac{16}{\pi}=\frac{9}{\pi}\;\;\;wiec\;\;\;h=\frac{3}{\sqrt{\pi}}\)
Objętość:
\(V_{stozka}=\frac{1}{3}\cdot P_{podstawy}\cdot h=\frac{1}{3}\cdot 16\cdot \frac{3}{\sqrt{\pi}}=\frac{16}{\sqrt{\pi}}=\frac{16\sqrt{\pi}}{\pi}\)