Stereometria-krawędzie i przekątne w graniastosłupie

[aga94]

1. Przekątna prostopadłościanu ma długość 2 i tworzy z krawędziami prostopadłościanu równe kąty. Podaj wymiary tego prostopadłościanu.

[patryk00714]

Jeżeli oznaczmy sobie krawędzie prostopadłościanu ABCDEFGH przez: \(|AB|=a \;\;\ |BC|=b \;\;\;\ |BF|=c\)to:

\(sin\alpha= \frac{|BG|}{|AG|} = \frac{ \sqrt{b^2+c^2} }{2} \;\;\;\ sin\alpha= \frac{|EG|}{|AG|} = \frac{ \sqrt{a^2+b^2} }{2}\;\;\;\ sin\alpha=\frac{|DG|}{|AG|} = \frac{ \sqrt{a^2+c^2} }{2}\)

stąd otrzymujemy, że \(\frac{ \sqrt{b^2+c^2} }{2}=\frac{ \sqrt{a^2+b^2} }{2}=\frac{ \sqrt{a^2+c^2} }{2}\) a stąd, że: \(a=b=c\) zatem mamy styczność z sześcianem.

Wzór na przekątną sześcianu: \(d=a\sqrt{3}\)

a więc:

\(2=a\sqrt{3}\)

\(a= \frac{2\sqrt{3}}{3}\)