Równanie różniczkowe i całki

Pytania o rozwiązania zadań.
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Alaa
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 3
Rejestracja: 25 sie 2014, 14:56
Podziękowania: 2 razy
Płeć:

Równanie różniczkowe i całki

Post autor: Alaa »

Prosiłabym o rozwiązanie krok po kroku :)
Zad.1 Rozwiąż równanie różniczkowe z warunkiem początkowym y(0)=0
\(\frac{dy}{dx} = e^{(x-y)}\)

Zad.2 Za pomocą całki obliczyć obszar (nie mam pojęcia jak go narysować) pomiędzy krzywymi:
x+y=\(\pi\)
y=0
y=x

Zad.3 Obliczyć całkę: \(\int_{}^{} x\;dy\) ograniczoną krzywymi : gdzie A(-a,0), B(0,a), C(a,0)
radagast
Guru
Guru
Posty: 17549
Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 41 razy
Otrzymane podziękowania: 7435 razy
Płeć:

Re: Równanie różniczkowe i całki

Post autor: radagast »

Alaa pisze:Prosiłabym o rozwiązanie krok po kroku :)
Zad.1 Rozwiąż równanie różniczkowe z warunkiem początkowym y(0)=0
\(\frac{dy}{dx} = e^{(x-y)}\)
\(\frac{dy}{dx} = e^{(x-y)}\)

\(\frac{dy}{dx} = \frac{e^x}{e^y}\)

\(\int_{}^{} e^ydy= \int_{}^{} e^xdx\)

\(e^y=e^x+C\)

\(y=ln(e^x+C)\)

uwzględniając warunek początkowy mamy:

\(0=ln(1+C)\)
czyli \(C=0\)
ostatecznie więc szukane równanie to \(y=x\)
radagast
Guru
Guru
Posty: 17549
Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 41 razy
Otrzymane podziękowania: 7435 razy
Płeć:

Re: Równanie różniczkowe i całki

Post autor: radagast »

Alaa pisze:
Zad.2 Za pomocą całki obliczyć obszar (nie mam pojęcia jak go narysować) pomiędzy krzywymi:
x+y=\(\pi\)
y=0
y=x
obrazek jest taki:
ScreenHunter_1003.jpg
ScreenHunter_1003.jpg (13.27 KiB) Przejrzano 1314 razy
a rachunek taki :
\(\displaystyle \int_{0}^{ \frac{ \pi }{2} }-x+ \pi -x\ dx=\int_{0}^{ \frac{ \pi }{2} }-2x+ \pi \ dx= \left[-x^2+ \pi x \right]_{0}^{ \frac{ \pi }{2} }=- \frac{ \pi ^2}{4}+\frac{ \pi ^2}{2}=\frac{ \pi ^2}{4}\)
(Trzeba by to wprawdzie obrócić o 90 stopni ale wynik jest dobry :)- obrót to izometria, nie zmienia pola )
Alaa
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 3
Rejestracja: 25 sie 2014, 14:56
Podziękowania: 2 razy
Płeć:

Post autor: Alaa »

Dziękuje za pomoc :)
Mam kolejne zad przy którym się zacięłam i nie wiem co dalej jak obliczyć obszar D \(\int_{}^{} \int_{}^{} ysin\frac{xy^2}{2}\) ograniczony krzywymi : x=0 , y=\(\sqrt{ \pi }\) , y=\(\frac{x}{2}\) za stałą granicę przyjęłam \(0\le y \le \ \ \sqrt{ \pi }\) a zmienną \(0\le x \le 2y\) jeśli policzyłam całkę po dx i podstawiłam za x to dostałam całkę \(\int_{}^{} \frac{-2}{y} \cos y^3dy\) z którą nie wiem jak sobie poradzić no chyba, że wcześniej mam gdzieś błąd, albo można ten obszar obliczyć w łatwiejszy sposób.
Alaa
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 3
Rejestracja: 25 sie 2014, 14:56
Podziękowania: 2 razy
Płeć:

Post autor: Alaa »

I czy mógłby mi ktoś wytłumaczyć współrzędne biegunowe bo mam problem z określeniem kąta i promienia szperałam troszeczkę po internecie, ale nic ciekawego nie znalazłam i dalej ich nie mogę zrozumieć . Wiem że jeżeli mam równanie postaci np. \(x^2+y^2=4\) gdzie całkuję od środka układu współrzędnych i moje \(0\le r \le 2\) a \(0 \le φ \le 2 \pi\) to potrafię obliczyć(daną całkę podwójną po tym obszarze), ale jeśli np. mam równanie typu \((x-1)^2+y^2=1\) lub \((x-5)(y+2)=9\) albo jest to jakiś wycinek,ćwiartka, koła to od czegoś zależy ten kąt i r (czy bierzemy wtedy pod uwagę ćwiartkę w której sie znajduje czy to nie mam wpływu i zawsze bierze się kąt od 0 do \(2 \pi\))
ODPOWIEDZ