Tak sobie pomyślałem, że w wolnym czasie warto było by poszerzyć nieco swoją (nie)wiedzę matematyczną
Tak więc zacząłem od indukcji zupełnej.
Mógłby mi ktoś wytłumaczyć w skrócie na moim przykładzie na czym polegają takie dowody i jak to wszystko przebiega.
Zadanie jest takie:
Udowodnić, że dla każdej liczby naturalnej \(n \ge 3\) jest spełniona nierówność \(2^n>2n\)
Z góry dzięki w piątek wyniki matur!!! <nerwy>
\(\ge\)Pomogłem? Kliknij ł\(\alpha\)pkę w górę! \(\le\)
1. Sprawdzamy dla n=3 poprawnosc nierownosci \(2^3=8>2*3=6
L>P\)
2. \(n>3\)
Założenie: \(2^n>2n\)
ze zachodzi dla elementu n
Teza: \(2^{(n+1)}>2(n+1)\)
ze zachodzi dla elementu n+1
Dowód:
Korzystajac z załozenia wykazujemy teze \(L=2^{(n+1)}=2^n*2>2n*2=2n+2n>2n+2=2(n+1)=P\)
Z pwardziwosci pktu pierwszego i drugiego na zasadzie reguly indukcji matematycznej zachodzi nierówność.
W pkcie pierwszeym wykazujemy spełnienie nierownosci dla pierwszego n ( u nas n=3), ktore to spełnia. Potem w 2 sprawdzamy czy z faktu ze spełnia dla wczesniejszego elementu to i spełnia dla nastepnego.
Znasz odpowiedź do zadania, to ją podaj. Łatwiej będzie sprawdzić czy w rozwiązaniu zadania nie ma błędu.
Otrzymałeś odpowiedź do umieszczonego zadania? Podziękuj autorowi za rozwiązanie!!
„Jeżeli chcecie nauczyć się pływać ,
To trzeba, żebyście weszli do wody.
Jeżeli zamierzacie nauczyć się rozwiązywania zadań,
to trzeba, żebyście je rozwiązywali”
Czyli taki dowód polega na tym, że zakładamy że nasza "pierwsza" teza jest prawdziwa i sprawdzamy jest prawdziwość dla n+1. I jeżeli przekształcimy to co nam wyszło tak, żeby powiązało się to w jakiś sposób z naszym założeniem (które na początku było tezą) to wtedy mamy udowodnioną "pierwszą" tezę, tak?
\(\ge\)Pomogłem? Kliknij ł\(\alpha\)pkę w górę! \(\le\)
indukcja polega na tym, że:
1. Sprawdzamy dla n początkowego prawdziwość równości/nierównosci.
2,Zakładamy prawdziwość wzoru dla n.
3. Sprawdzamy, czy wzór jest prawdziwy dla n+1.
Jesli tak to na mocy indukcji wzór jest prawdziwy
Otrzymałeś odpowiedź do umieszczonego zadania? Podziękuj autorowi za rozwiązanie!!
Trochę inne rozwiązanie znalazłem w książce. Tam jest tak:
2') Niech k oznacza dowolną liczbę naturalną nie mniejszą od 3. Jeżeli \(2^k>2k\) to po przemnożeniu tej nierównościc obustronnie prez 2 otrzymujemy \(2 \cdot 2^k>2 \cdot 2^k\) czyli \(2^{k+1}>2k+2k\). Ponieważ dla każdego \(k \ge 3\) mamy \(2k>2\), więc \(2k+2k>2k+2=2(k+1)\), a zatem \(2^{k+1}>2(k+1)\). Wynika stąd , że dla dowolnej liczny naturalnej \(k \ge 3\) jest prawdziwa implikacja \(2^k>2k \Rightarrow 2^{k+1}>2(k+1)\)
Czym to się różni? Czy takie rozwiązaniu też jest poprawne?
\(\ge\)Pomogłem? Kliknij ł\(\alpha\)pkę w górę! \(\le\)
Warto zwrócić uwagę, że indukcja może posłużyć do dowodów znacznie bardziej skomplikowanych faktów niż równania i nierówności. Jest to podstawowe narzędzia do dowodzenia twierdzeń, w których pojawia się zależność od liczb naturalnych.
w piątek wyniki matur!!! <nerwy>
