Indukcja matematyczna.
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Dopiero zaczynam
- Posty: 21
- Rejestracja: 02 maja 2015, 19:07
- Podziękowania: 16 razy
- Płeć:
Indukcja matematyczna.
\(( \forall n \in N, n \ge 2) \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{ \sqrt{i} }>2( \sqrt{n+1}-1)\)
-
- Dopiero zaczynam
- Posty: 21
- Rejestracja: 02 maja 2015, 19:07
- Podziękowania: 16 razy
- Płeć:
-
- Guru
- Posty: 17549
- Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękowania: 41 razy
- Otrzymane podziękowania: 7435 razy
- Płeć:
Re: Indukcja matematyczna.
dla \(n=2\) mamy: \(1+ \frac{1}{ \sqrt{2} } >2( \sqrt{3} -1)\) bo \(1+ \frac{1}{ \sqrt{2} } >2 \sqrt{3} -2\) bo \(3+ \frac{1}{ \sqrt{2} } >2 \sqrt{3}> 3\) OK
zał ind : istnieje \(n \in N\) t. że \(\displaystyle \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{ \sqrt{i} }>2( \sqrt{n+1}-1)\)
teza \(\displaystyle \sum_{i=1}^{n+1} \frac{1}{ \sqrt{i} }>2( \sqrt{n+2}-1)\)
DOWÓD
\(\displaystyle L=\sum_{i=1}^{n+1} \frac{1}{ \sqrt{i} }=\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{ \sqrt{i} }+ \frac{1}{ \sqrt{n+1} }>2( \sqrt{n+1}-1)+ \frac{1}{ \sqrt{n+1} }=2 \sqrt{n+1}+ \frac{1}{ \sqrt{n+1} } -2=\\
\displaystyle \frac{2 (n+1)}{ \sqrt{n+1}} + \frac{1}{ \sqrt{n+1} } -2= \frac{2 n+3}{ \sqrt{n+1}} -2=\frac{ \sqrt{4n^2+12n+9} }{ \sqrt{n+1}} -2>\frac{ \sqrt{4n^2+12n+8} }{ \sqrt{n+1}} -2=\\
\displaystyle \frac{ \sqrt{4(n+1)(n+2)} }{ \sqrt{n+1}} -2=2( \sqrt{n+2}-1)=P\ \ \ \ \So \ \ \ L>P\)
c.b.d.o.
zał ind : istnieje \(n \in N\) t. że \(\displaystyle \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{ \sqrt{i} }>2( \sqrt{n+1}-1)\)
teza \(\displaystyle \sum_{i=1}^{n+1} \frac{1}{ \sqrt{i} }>2( \sqrt{n+2}-1)\)
DOWÓD
\(\displaystyle L=\sum_{i=1}^{n+1} \frac{1}{ \sqrt{i} }=\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{ \sqrt{i} }+ \frac{1}{ \sqrt{n+1} }>2( \sqrt{n+1}-1)+ \frac{1}{ \sqrt{n+1} }=2 \sqrt{n+1}+ \frac{1}{ \sqrt{n+1} } -2=\\
\displaystyle \frac{2 (n+1)}{ \sqrt{n+1}} + \frac{1}{ \sqrt{n+1} } -2= \frac{2 n+3}{ \sqrt{n+1}} -2=\frac{ \sqrt{4n^2+12n+9} }{ \sqrt{n+1}} -2>\frac{ \sqrt{4n^2+12n+8} }{ \sqrt{n+1}} -2=\\
\displaystyle \frac{ \sqrt{4(n+1)(n+2)} }{ \sqrt{n+1}} -2=2( \sqrt{n+2}-1)=P\ \ \ \ \So \ \ \ L>P\)
c.b.d.o.
-
- Dopiero zaczynam
- Posty: 21
- Rejestracja: 02 maja 2015, 19:07
- Podziękowania: 16 razy
- Płeć: