a) Udowodnij, że liczba \(\sqrt{14}\) nie jest liczbą wymierną.
b) Udowodnij, że liczba \(\sqrt{15}\) nie jest liczbą wymierną.
Udowodnić że pierwiastek nie jest liczbą wymierną
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
\(m^2=14n^2\)
Po prawej stronie masz wielokrotność liczby 14, czyli na pewno liczbę parzystą. Stąd - \(m^2\) też musi być liczba parzystą.
Ale kwadrat liczby jest parzysty tylko wtedy, gdy sama liczba jest liczbą parzystą, Stąd wniosek, że liczba m musi być parzysta.
Ale dalej- kwadrat liczby parzystej dzieli się przez 4.
Stąd- liczba \(14n^2\) dzielić się musi przez 4, więc liczba \(7n^2\) musi dzielić się przez 2. Czyli- liczba \(n^2\) dzieli się przez 2, więc liczba n jest liczbą parzystą.
I masz sprzeczność z założeniem \((m,\ n)=1\) , czyli, że liczby m i n są liczbami względnie pierwszymi (czyli ułamek \(\frac{m}{n}\) jest ułamkiem nieskracalnym.
Po prawej stronie masz wielokrotność liczby 14, czyli na pewno liczbę parzystą. Stąd - \(m^2\) też musi być liczba parzystą.
Ale kwadrat liczby jest parzysty tylko wtedy, gdy sama liczba jest liczbą parzystą, Stąd wniosek, że liczba m musi być parzysta.
Ale dalej- kwadrat liczby parzystej dzieli się przez 4.
Stąd- liczba \(14n^2\) dzielić się musi przez 4, więc liczba \(7n^2\) musi dzielić się przez 2. Czyli- liczba \(n^2\) dzieli się przez 2, więc liczba n jest liczbą parzystą.
I masz sprzeczność z założeniem \((m,\ n)=1\) , czyli, że liczby m i n są liczbami względnie pierwszymi (czyli ułamek \(\frac{m}{n}\) jest ułamkiem nieskracalnym.