forum.zadania.info

Dla jakich wartości parametru m dziedziną funkcji :
\(y=\frac{1}{ \sqrt{(m^2+m-6)x^2+(m-2)x+m+1} }\)
jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych?

Wyrażenie pod pierwiastkiem ma być dodatnie dla wszystkich liczb x rzeczywistych.
\((m^2+m-6)x^2+(m-2)x+m+1>0\)
Jeśli \(m=2\) ,to funkcja po lewej stronie nierówności jest liniowa , stała i ma wszystkie wartości dodatnie,czyli warunek jest spełniony.
Jeśli \(m \neq -3\;\;\;i\;\;\;m \neq 2\) , to mamy po lewej funkcję kwadratową ,której wykresem jest parabola ramionami
do góry i warunek będzie spełniony,gdy \(\Delta <0\)
\(\Delta =-4m^3-7m^2+16m+28\)
\(\Delta <0\;\; \Leftrightarrow \;\;m^2(-4m-7)-4(-4m-7)<0
(m^2-4)(-4m-7)<0
(m-2)(m+2)(-4m-7)<0\)
Szkicujesz wykres wielomianu W(m) i odczytujesz,dla jakich m przyjmuje wartości ujemne.
\(m \in (-2; \frac{-7}{4}) \cup (2;+ \infty )\)
Uwzględniając oba przypadki (f.liniowa i f.kwadratowa),w których wyrażenie pod pierwiastkiem jest dodatnie dla
każdego x rzeczywistego mamy odpowiedź .
\(m \in (-2; \frac{-7}{4}) \cup<2;+ \infty )\)

Dzięki wielkie za pomoc