Czy zmienna ma rozkład ?

[tukan]

Cześć,
Niech \(n>0\) będzie liczbą naturalną.
a. \(X\) ma rozkład dwumianowy. Oznacza to w mojej def. że \(Pr(X=k)={n\choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}\).
Czy wówczas \(n-X\) ma rozkład dwumianowy ?

b. \(X\) ma rozkład Poissona z parametrem \(\frac{n}{2}\). Czy \(n-X\) też ma rozkład Poissona ?
c. \(X\) ma rozkład normalny z parametrami \(\frac{n}{2}, \frac{n}{2}\). Czy zmienna \(n-X\) też ma taki rozkład?

Nie jest to takie proste.
Spróbuję a.
Wydaje mi się, że tak. Pamiętajmy, że \(X\) może przyjmować wartości z zakresu \([1,n]\). Bo tylko w tym zakresie mamy liczbę prób.
Weźmy np. Sprawdźmy dla \(n-X=1\)
U nas to będzie: \(Pr(n-X=1) = Pr(X=n-1) = {n\choose n-1}p^{n-1}(1-p)^{1}\)
No niby się zgadza, jest to rozkład dwumianowy.
Zobaczmy na \(Pr(n-X=n) = Pr(X=0) = {n\choose 0}p^{0}(1-p)^{n} = (1-p)^n\).
No też się zgadza. Zatem w a. odpowiedź jest twierdząca. Wydaje mi się, że tutaj po prostu zamieniają się miejscami \(p\) i \(q\), gdyby były równe \(\frac{1}{2}\) to dostajemy ten sam rozkład.

b. Co znaczy rozkład Poissona ?
\(Pr(X=k) = \frac{(\frac{n}{2})^k}{k!}e^{-\frac{n}{2}}\)
\(Pr(n-X=k) = Pr(X=n-k) = \frac{(\frac{n}{2})^{n-k}}{(n-k)!}e^{-\frac{n}{2}}\)
Tutaj już jest chyba odpowiedź negatywna.
Ale nie jestem przekonany. Co o tym sądzicie ?

[panb]

Co do rozkładu Poissona - masz rację. Zmienna \(n-X\) nie ma rozkładu Poissona, bo (n-k)! traci sens dla \(k>n\).

c) \(X\sim N(n/2,n/2) \So P(X=x)= \frac{1}{ \frac{n}{2}\sqrt{2\pi} }e^{- \frac{(x-n/2)^2}{2(n/2)^2} }\)
\(P(n-X=x)=P(X=n-x)= \frac{1}{ \frac{n}{2}\sqrt{2\pi} }e^{- \frac{(n-x-n/2)^2}{2(n/2)^2} }= \frac{1}{ \frac{n}{2}\sqrt{2\pi} }e^{- \frac{(n/2-x)^2}{2(n/2)^2} }= \frac{1}{ \frac{n}{2}\sqrt{2\pi} }e^{- \frac{(x-n/2)^2}{2(n/2)^2} }\),
więc zmienna \(n-X\) ma rozkład normalny z takimi samymi parametrami.