Bardzo proszę o pomoc przy rozwiązaniu tego zadania ;
Do pociągu składającego się z n wagonow wsiada k pasażerów.Oblicz prawdopodobienstwo ze do kazdego wagonu wsiądzie przynajmniej jednen pasażer.Wiem ze moc zbioru \(\Omega\) bedzie \((n^k)\). Miałam pomysl |A|= \({ k\choose n }\)*n!*\(n^{k-n}\) ale gdzies juz wyczytałam ze tak bedzie zle
To jest pytanie o liczbę suriekcji (funkcji "na") zbioru \(k\)-elementowego w zbiór \(n\)-elementowy.
Ten problem rozwiązuje się przy pomocy zasady włączeń i wyłączeń. Popatrzmy na zdarzenie przeciwne: \(A'\) - pewien wagon zostanie pusty. Niech \(B_i\) oznacza zdarzenie: \(i\)-ty wagon zostanie pusty. Wówczas
\(A'=B_1\cup B_2\cup\ldots\cup B_n\)
Zbiory \(B_i\) nie są oczywiście rozłączne, dlatego do obliczenia mocy ich sumy potrzebna jest zasada włączeń i wyłączeń. Moce ich przecięć liczy się już łatwo, a całość można napisać w dość zwartej postaci przy pomocy znaku sumowania. W razie wątpliwości pytaj.
Rozumiem ze mam popodstawiac do tego wzoru ?
Niech \(A_1, A_2 \dots A_n\) będą dowolnymi skończonymi zbiorami zaś i, j, k \(\in \{1, \ldots, n\}\). Wówczas
\(\left|\bigcup_{i=1}^n A_i\right|=\sum_{i=1}^n\left|A_i\right|
-\sum_{i,j:\,i<j}\left|A_i\cap A_j\right| +
+ \sum_{i,j,k:\,i<j<k}\left|A_i\cap A_j\cap A_k\right|-\ \dots + (-1)^{n-1} \left|A_1\cap\cdots\cap A_n\right|\),
gdzie \(\left|A_k\right|\) oznacza moc zbioru\(A_k \\)
Czy \(\left|B_i\right|\) =(n-1)!*\((n-1)^{k-n+1}\)? Czyli chce zeby byl dokladnie jeden wagonik pusty ,do kazdego z n-1 wagonikow wchodzi dokladnie jeden pasazer i pozniej jeszcze reszte pasazerow sie dosiada do tych n-1 wagonikow .Natomiast \(\left|B_i\cap B_j\right|\) to jak 2 wagoniki puste?
Jak dłuzej myśle to widze ze znowu mam złe rozumowanie bo moge posadzic w wagonie najpierw Bolka a potem dosadzic Lolka i to bedzie to samo jakbym najpierw posadzila Lolka a potem dosadzila Bolka wiec mi sie powtarza .Wiec nadal niewiem jak to powinno byc.
W tresci napisalam ze jest k pasażerów . A wlaśnie jak zrobie |\(B_{i}\)|=\((n-1)^{k}\) to nie bedzie tak ze moge miec nie tylko i-ty wagonik pusty? Bo pasażerów rozsadzam dowolnie wiec moge ich np wsadzic do jednego wagonika z tych n-1 a wtedy to bedzie |\(B_{1}\cap B_{2}...\cap B_{n-1}\)|(jezeli powiedzmy wszyscy sa w n-tym ) .No bo rozumiem ze |\(B_{i}\)| to jak mam dokladnie jeden wagonik pusty.
Tak, przepraszam za zamieszanie. Nie doczytałem dobrze treści. Zmieniłem we wcześniejszych postach oznaczenia tak, żeby odpowiadały sytuacji: \(n\) wagonów, \(k\) pasażerów.
Wszystko się zgadza, poza jednym - zdarzenie \(B_i\) oznacza, że \(i\)-ty wagonik jest pusty, a cała reszta nas zupełnie nie interesuje. Właśnie dlatego zdarzenia \(B_i\) nie są rozłączne i potrzebujemy zasady włączeń i wyłączeń. Można powiedzieć, że dzięki niej trudny problem sprowadziliśmy do obliczania wielu łatwych problemów. Kosztem takiego postępowania jest wielość tych łatwych problemów.
