Strona 1 z 1

jakie jest prawdopodobieństwo

: 09 sie 2013, 18:41
autor: studentka2010
Albert ma w kieszeni dwa pęki kluczy, po 4 klucze w każdym. Wśród tych kluczy jest dokładnie jeden pasujący do drzwi w piwnicy. Ponieważ jest ciemno Albert wylosował pęk kluczy i 3 razy bezskutecznie próbował otworzyć drzwi losując za każdym razem z tego pęku klucz ze zwracaniem.
Jakie jest prawdopodobieństwo, że w tym pęku jest klucz pasujący do tych drzwi?

proszę o możliwe wytłumaczenie rozwiązania

Re: jakie jest prawdopodobieństwo

: 10 sie 2013, 12:13
autor: radagast
Policzmy prawdopodobieństwo, że w wylosowanym pęku tego klucza nie ma.
\(A\) - zdarzenie , że Albert wylosował niewłaściwy pęk
\(B\) - zdarzenie , że Albert 3 razy poniósł porażkę przy otwieraniu drzwi,.
\(P(A/B)= \frac{P(A \cap B)}{P(B)}\)

\(P(A \cap B)=P(A)= \frac{1}{2}\) (bo jak pęk jest niewłaściwy , to trzykrotna porażka jest pewna, co oznacza , że \(A\subset B\)) .
\(P(B)= \frac{1}{2} \cdot 1+ \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{3}{4} \right) ^3= \frac{91}{128}\) (na podstawie tw o p-stwie całkowitym)
No to
\(P(A/B)= \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{ \frac{1}{2} }{ \frac{91}{128} }= \frac{128}{182}\)
no i ostatecznie prawdopodobieństwo , że właściwy klucz tam jest wynosi \(1- \frac{128}{182}= \frac{54}{182}= \frac{27}{91}\)

Prawdę mówiąc sama jestem ciekawa czy to jest dobrze. Jeśli masz odpowiedź to napisz.

Re: jakie jest prawdopodobieństwo

: 10 sie 2013, 12:50
autor: eresh
\(H_1\) - losowanie z właściwego pęku
\(H_2\) - losowanie z niewłaściwego pęku
\(A\) - wylosowanie trzech niepasujących kluczy

\(P(H_1|A)=\frac{P(A|H_1)\cdot P(H_1)}{P(A|H_1)\cdot P(H_1)+P(A|H_2)\cdot P(H_2)}\\
P(H_1|A)=\frac{\frac{3\cdot 3\cdot 3}{4\cdot 4\cdot 4}\cdot\frac{1}{2}}{\frac{3\cdot 3\cdot 3}{4\cdot 4\cdot 4}\cdot\frac{1}{2}+1\cdot \frac{1}{2}}=\frac{\frac{27}{128}}{\frac{91}{128}}=\frac{27}{91}\)