Równanie różniczkowe rzędu II

[gonzalo2096]

Znaleźć całkę ogólną równania różniczkowego II rzędu

\(2xy'y'' = (y')^2 - 1\)

Podstawienie
\(y'=q\)
\(y'' = qq'\)

\(2xq^2q' = q^2 - 1\)

\(q'= \frac{1}{2x} (1- \frac{1}{q^2}\)
\(\frac{dq}{dx} = \frac{1}{2x} (1- \frac{1}{q^2}\)
\(\frac{dx}{2x} = \frac{q^2dq}{q^2-1}\)
\(\int_{}^{} \frac{dx}{2x} = \int_{}^{} \frac{q^2dq}{q^2-1}\)
\(\frac{1}{2} \ln x + C = q+ \frac{1}{2} \ln (q-1) - \frac{1}{2} \ln (q+1)\)

Czy do tego momentu rozwiązanie jest poprawne?
Proszę o pomoc w dokończeniu, mam problem z opuszczeniem logarytmów.

[panb]

Niedobrze. Twoje podstawienie to \(y'=q(x)\). Takie wzory jak zastosowałeś powyżej to są dla przypadku \(y'=q(y)\) stosownego gdy w równaniu nie ma iksa.

\(y'=q(x) \So y''=q'(x)\) i równanie przyjmuje postać: \(2xq^2q'=q^2-1\).
Dalej nie rozwiązuję, bo widzę, że sobie radzisz.

Dodałem ten post tylko dlatego, żeby zwrócić twoją uwagę na różnicę w podstawieniach \(q=q(x)\) oraz \(q=q(y)\).