Klasa funkcji Caratheodory'ego.

[mz93]

am do rozwiązania następujące zadanie:
Niech \(P^{'}\) będzie zbiorem funkcji \(f\) postaci \(f(z)= z+ \sum_{n=2}^{ \infty } a _{n} z^{n}\) dla których \(Re f^{'}(z)>0\) , czyli \(f^{'}(z) \in P\).
Wykaż, że wtedy \(| a_{n}| \le \frac{2}{n}\). Czy ta nierówność jest dokładna? Jeśli tak, to jaką postać ma funkcja ekstremalna?


\(P\) jest to klasa, której elementami są funkcje \(p(z)\) postaci \(p(z)= 1+ \sum_{n=1}^{n} c_{n} z^{n} \Leftrightarrow p(0)=1\) oraz \(Rep(z)>0, z \in D, D= \left\{z \in C:|z|<1} \right\}\).
Sprawdzamy czy \(f^{'}(z) \in P\). W tym celu obliczamy pochodną z \(f(z)\). Mamy
\(f^{'}(z)=1+ \sum_{n=2}^{ \infty }n a_{n} z^{n-1}\). Rzeczywiście \(f^{'}(0)=1\) oraz z założenia \(Re f^{'}(z)>0\), czyli \(f^{'}(z) \in P\).


Nie wiem jak pokazać, że \(| a_{n}| \le \frac{2}{n}\). Na wykładzie miałam twierdzenie, które mówiło, że jeśli \(p \in P\) oraz \(p(z)= 1+ \sum_{n=1}^{n} c_{n} z^{n}\), to \(| c_{n}| \le 2, n=1,2,...\). Czy i w jaki sposób można je wykorzystać w tym zadaniu? Nie mam pomysłu...


Co tzn., że nierówność jest dokładna i jak znaleźć funkcję ekstremalną? Na wykładzie było podane tylko, że funkcja ekstremalna jest to funkcja realizująca równość dla pewnych nierówności \(| a_{n}| \le n\).