Odwzorowanie

[Artegor]

Podaj przykład funkcji odwzorowującej przedział \((-1, 3)\) na przedział \([2, 5]\).


O co tutaj tak w zasadzie chodzi?

[Arni123]

Musisz jedynie znaleźć taką funkcję, której obrazem przedziału otwartego \((-1,3)\) jest przedział domknięty \([2,5]\). Udało mi się pokombinować i znalazłem taką funkcję:
\(f(x)=\frac{3}{2}\sin(\frac{2\pi}{4}(x+1))+\frac{7}{2}\)
Dla tej funkcji \(f(0)=5,\; f(2)=2\).

[Arni123]

Jeśli chodzi o metodę, to wystarczyło tylko odpowiednio przekształcić fragment wykresu funkcji \(\sin(x)\) na przedziale \((0,2\pi)\), tak aby zmieścił się w prostokącie \((-1,3)\times [2,5]\).

[radagast]

Ja to narysuję:

ScreenHunter_1554.jpg (9.34 KiB) Przejrzano 1717 razy

[Artegor]

Czyli tak aby, jeden pełen okres funkcji sinus znalazł się pomiędzy tymi "barierami"?

[radagast]

nie, to z funkcją sinus nie ma nic wspólnego !

[Artegor]

Tak tak rozumiem, sinusem posłużyliśmy się tylko żeby to rozwiązać. Następnie dokonujemy jego przekształceń, ponieważ jest on ograniczony z góry przez 1 i z dołu przez -1

[Arni123]

Dokładnie tak. Może napisze krok po kroku jak dokonałem przekształcenia. Wpierw chciałem uzyskać rozpiętość funkcji wynoszącą \(3\). Stąd uzyskałem funkcję \(\frac{3}{2}\sin(x)\). Następnie potrzebujemy aby zbiór wartości był przedziałem \([2,5]\) stąd \(\frac{3}{2}\sin(x)+\frac{7}{2}\), bo wówczas najmniejszą wartością na przedziale \((0,2\pi)\) jest \(\frac{3}{2}(-1)+\frac{7}{2}=2\), a największą \(\frac{3}{2}\cdot 1+\frac{7}{2}=5\). Następnie musimy "zwęzić" funkcję do przedziału o długości 4, skąd otrzymujemy \(\frac{3}{2}\sin(\frac{2\pi}{4}x)+\frac{7}{2}\). Pozostało jedynie przesunąć tą funkcję o 1 jednostkę w lewo i otrzymujemy \(\frac{3}{2}\sin(\frac{2\pi}{4}(x+1))+\frac{7}{2}\)

[Arni123]

Artegorze, w tym temacie masz dwa różne rozwiązania. Radagast przedstawiła graficzną wersję, a ja nieco bardziej analityczną. Obie są prawidłowe.

[Artegor]

Mhm rozumiem, niemniej jednak zależało mi na wyznaczeniu tej recepty