Równanie

[Artegor]

Wyznacz najmniejsze \(x> \frac{1}{27}\)

gdy


\(\sin \log _99x=cos( \frac{3}{2} \pi +3log_3 \sqrt[3]{x})\)

[Artegor]

\(sin \log _99x=-sin(3 \log _3 \sqrt[3]{x} )=0\)

\(2sin( \frac{log_33 \sqrt{x} + log_3x}{2} )cos( \frac{log_33 \sqrt{x}-log_3x }{2} )=0\)

Dalej mam \(log_3(3 \sqrt{x} \cdot x)=k \pi\) V \(\log _3 \frac{3 \sqrt{x} }{x} = \frac{\pi }{2} +k \pi\)


Czy dobrze do tego momentu?

[michal486]

\(cos( \frac{3}{2} \pi + 3log_3 \sqrt[3]{x}) = sin( \frac{ \pi }{2} - \frac{3}{2} \pi - 3log_3 \sqrt[3]{x}) = sin( - \pi - 3log_3 \sqrt[3]{x}) = - sin ( \pi + 3log_3 \sqrt[3]{x}) = sin (3log_3 \sqrt[3]{x})\)
zatem
\(sin (log_99x)= sin (3log_3 \sqrt[3]{x})\)
a stąd już tylko :
\(log_99x = 3log_3 \sqrt[3]{x} + 2k \pi\) lub \(log_99x = \pi - 3log_3 \sqrt[3]{x} + 2k \pi\)
i znaleźć rozwiązania dla iksa.

[Artegor]

Można wiedzieć skąd wzięło się \(\pi -....\) ? Z okresowości funkcji sinus?

[michal486]

Nie za bardzo rozumiem o co Ci chodzi, zatem może napiszę tak :
najpierw zamieniamy \(cos \alpha\) na \(sin \alpha\) ze wzoru \(cos(90- \alpha ) = sin \alpha\)
Jest to wzór redukcyjny, mam nadzieję Ci dobrze znany (Oczywiście \(90^ \circ\) = \(\frac{ \pi }{2}\))
Następnie korzystamy z tego, że funkcja sinus jest nieparzysta (tak jak tangens i cotangens).
Zatem \(sin (- \alpha ) = - sin \alpha\)
No i trzecim krokiem jest kolejny wzór redukcyjny \(sin(180 + \alpha ) = - sin \alpha\)
(gdzie \(180^ \circ = \pi )\)

[Artegor]

No tak przepraszam, zbyt wąsko napisałem. Chodzi mi o ostatni krok, bo wzory redukcyjne są mi dobrze znane, czyli
"a stąd już tylko :"

Dwie funkcje sinus przecinają się w dwóch punktach, powtarzających się co 2k\(\pi\) o to chodzi? Dlatego są dwa rozwiązania. Jedno przesunięte o połowe okresu, czyli o \(\pi\)?

[michal486]

Funkcja sinus, tak jak i cosinus mają 2 rozwiązania, okres to \(2 \pi\).
Jeśli mamy funkcje np.
sinx = sin(3-x)
to mamy
\(x = 3-x + 2k \pi\) lub \(x = \pi - (3-x) + 2k \pi\), gdzie \(k \in\) całkowitych
Ja to zawsze robiłem sobie ze wzorów redukcyjnych
\(sin \alpha = sin(180- \alpha)\)
Gdyż w pierwszej i 2 ćwiartce sinus jest dodatni.
Zatem mamy 2 rozwiązania...

Po prostu jak weźmiemy dowolną prostą y = b, gdzie \(b \in (-1;1)\) no to widzimy, że ta prosta przecina funkcje sinus w 2 miejscach, zatem mamy 2 rozwiązania.

Nie wiem czy to Ci coś tłumaczy, no ale nie potrafię tego wytłumaczyć

[Artegor]

Myślę, że chodzi nam o to samo. Ja nie potrafie ubrać tego w słowa.

[michal486]

no właśnie nie są zawsze oddalone o pi ;D
są oddalone o odległość \(\le pi\)

[Artegor]

Mhm widzę to na wykresach i przyjąłem tę odległość jako \(\pi\), mój błąd. Generalnie drugie rozwiązanie to zawsze \(\pi -x\)?

[michal486]

dla sinusa, drugie rozwiązanie to \(\pi - \alpha\)
dla cosinusa, drugie jest po prostu dodaniem minusa, np jak mamy
\(cos(90 - x) = cos(3x + 1)\)
to rozwiązaniem tego będzie
\(90 - x = 3x + 1 + 2k \pi\) lub \(90 - x = - (3x + 1) + 2k \pi\), gdzie \(k \in\) całkowitych

PS
Piszę zawsze słownie całkowitych bo w średniej zbiór liczb całkowitych oznacza się literą C, natomiast na studiach to jest litera Z, bo C oznacza liczby zespolone.

[Artegor]

Jak tutaj z rozwiązaniem? znalazłem x=9
Nie wiem jak to sie ima do polecenia.

[michal486]

No to masz odpowiedz.
Najmniejsze x wynosi 9.