Mam problem z określeniem zbieżności szeregu.
\(\frac{(2n)!}{n^(2n)+2^n}\)
po użyciu k.d'aleberta dochodzę do czegoś takiego
\(\frac{(2n+1)(2n+2)(n^2n)+2^n)}{(n+1)^(2n+2)+2^(n+1)}\)
w tym miejscu nie wiem co dalej robić
zbieżność szeregu
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
Arni123
- Czasem tu bywam
- Posty: 135
- Rejestracja: 06 wrz 2011, 10:39
- Podziękowania: 2 razy
- Otrzymane podziękowania: 52 razy
- Płeć:
\(\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(2n+1)(2n+2)(n^{2n}+2^n)}{(n+1)^{2n+2}+2^{n+1}}=
\frac{\frac{1}{n^{2n+2}}(2n+1)(2n+2)(n^{2n}+2^n)}{\frac{1}{n^{2n+2}}[(n+1)^{2n+2}+2^{n+1}]}=
\frac{\frac{2n+1}{n}\frac{2n+2}{n}\frac{n^{2n}+2^n}{n^{2n}}}{\frac{(n+1)^{2n+2}}{n^{2n+2}}+\frac{2^{n+1}}{n^{2n+2}}}=
\frac{(2+\frac{1}{n})(2+\frac{2}{n})(1+\frac{2^n}{n^{2n}})}{(1+\frac{1}{n})^{2n+2}+\frac{2^{n+1}}{n^{2(n+1)}}}=
\frac{(2+\frac{1}{n})(2+\frac{2}{n})(1+\frac{2^n}{n^{2n}})}{[(1+\frac{1}{n})^n]^2(1+\frac{1}{n})^{2}+\frac{2^{n+1}}{n^{2(n+1)}}}\)
,a ponieważ \(\frac{2^n}{n^{2n}} \to 0\) i \((1+\frac{1}{n})^n \to e\) to
\(\frac{a_{n+1}}{a_n} \to \frac{2 \cdot 2 \cdot 1}{e^2 \cdot 1+0}=\frac{4}{e^2}<1\), zatem na mocy kryterium D'Alamberta szereg jest zbieżny.
\frac{\frac{1}{n^{2n+2}}(2n+1)(2n+2)(n^{2n}+2^n)}{\frac{1}{n^{2n+2}}[(n+1)^{2n+2}+2^{n+1}]}=
\frac{\frac{2n+1}{n}\frac{2n+2}{n}\frac{n^{2n}+2^n}{n^{2n}}}{\frac{(n+1)^{2n+2}}{n^{2n+2}}+\frac{2^{n+1}}{n^{2n+2}}}=
\frac{(2+\frac{1}{n})(2+\frac{2}{n})(1+\frac{2^n}{n^{2n}})}{(1+\frac{1}{n})^{2n+2}+\frac{2^{n+1}}{n^{2(n+1)}}}=
\frac{(2+\frac{1}{n})(2+\frac{2}{n})(1+\frac{2^n}{n^{2n}})}{[(1+\frac{1}{n})^n]^2(1+\frac{1}{n})^{2}+\frac{2^{n+1}}{n^{2(n+1)}}}\)
,a ponieważ \(\frac{2^n}{n^{2n}} \to 0\) i \((1+\frac{1}{n})^n \to e\) to
\(\frac{a_{n+1}}{a_n} \to \frac{2 \cdot 2 \cdot 1}{e^2 \cdot 1+0}=\frac{4}{e^2}<1\), zatem na mocy kryterium D'Alamberta szereg jest zbieżny.