Monotoniczność funkcji, wklęsłość, wypukłość

[gruszka]

Wyznacz dziedzinę, zbiór wartości oraz punkty w których funkcja jest rosnąca, malejąca, wklęsła, wypukła
\(f(x)= \frac{x}{x^2+1}\)

[eresh]

1. \(D=\mathbb{R}\\\)


2. zbiór wartości

szukamy takich m, dla których równanie \(\frac{x}{x^2+1}=m\) ma rozwiązanie

\(x=mx^2+m\\
mx^2-x+m=0\)

jeśli \(m=0\) to równanie ma rozwiązanie
dla \(m\neq 0\):
\(\Delta\geq 0\\
1-4m^2\geq 0\\
(1-2m)(1+2m)\geq 0\\
m\in [-\frac{1}{2},0)\cup (0,\frac{1}{2}]\)

\(ZW=[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}]\)


3.
\(f'(x)=\frac{x^2+1-2x^2}{(x^2+1)^2}\\
f'(x)=\frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}\\
f'(x)>0\iff\;\;x\in (-1,1)\\
f'(x)<0\;\;\iff\;\;x\in (-\infty, -1)\cup (1,\infty)\)
funkcja jest rosnąca w przedziale \((-1,1)\), malejąca - w przedziałach \((-\infty, -1), (1,\infty)\)


4.
\(f''(x)=\frac{-2x(x^2+1)^2-(1-x^2)\cdot 2(x^2+1)\cdot 2x}{(x^2+1)^4}\\
f''(x)=\frac{-2x(x^2+1)^2-4x(1-x^2)(x^2+1)}{(x^2+1)^4}\\
f''(x)=\frac{-2x(x^2+1)(x^2+1+2(1-x^2)}{(x^2+1)^4}\\
f''(x)=\frac{-2x(x^2+1)(x^2+1+2-2x^2)}{(x^2+1)^4}\\
f''(x)=\frac{-2x(x^2+1)(3-x^2)}{(x^2+1)^4}\\
f''(x)>0\;\;\iff\;\;x\in (-\infty,-\sqrt{3})\cup (0,\sqrt{3})\mbox{ - funkcja wypukla}\\
f''(x)<0\;\;\iff\;\;x\in (-\sqrt{3},0)\cup (\sqrt{3},\infty) \mbox{ - funkcja wklesla}\)

[gruszka]

\(f''(x)>0\) to nie jest funkcja wklęsła ?

[eresh]

\(f''(x)>0\) to nie jest funkcja wklęsła ?

raczej nie
https://pl.wikipedia.org/wiki/Wypuk%C5% ... 9B.C4.87_2