Całka nieoznaczona

[tyk3]

Witam,

Mam całkę nieoznaczoną \(\int \sqrt{1-x^2} dx\)
Znalazłem już sposób jej obliczenia, zastanawia mnie natomiast, gdzie ja popełniłem jakiś logiczny błąd. Oto mój schemat:

Przez podstawienie \(1-x^2 = t^2\)
\(-2x dx = 2t dt\)
\(x dx = -t dt\)
\(dx = \frac{-t dt}{x}\)
\(x^2 = 1 - t^2\)
\(x = \sqrt{1-t^2}\)
\(dx = \frac{-t dt}{ \sqrt{1-t^2} }\)
\(\int \sqrt{1-x^2} = \int t * \frac{-t dt}{ \sqrt{1-t^2} } = \int \frac{dt}{ \sqrt{1-t^2} }\)

Zatem ostatecznie wychodzi - arc sin t +C = - arc sin \(\sqrt{1-x^2} +C\)

[radagast]

Witam,

Mam całkę nieoznaczoną \(\int \sqrt{1-x^2} dx\)
Znalazłem już sposób jej obliczenia, zastanawia mnie natomiast, gdzie ja popełniłem jakiś logiczny błąd. Oto mój schemat:

Przez podstawienie \(1-x^2 = t^2\)
\(-2x dx = 2t dt\)
\(x dx = -t dt\)
\(dx = \frac{-t dt}{x}\)
\(x^2 = 1 - t^2\)
\(x = \sqrt{1-t^2}\)
\(dx = \frac{-t dt}{ \sqrt{1-t^2} }\)
\(\int \sqrt{1-x^2} = \int t * \frac{-t dt}{ \sqrt{1-t^2} } = \int \frac{dt}{ \sqrt{1-t^2} }\)

Zatem ostatecznie wychodzi - arc sin t +C = - arc sin \(\sqrt{1-x^2} +C\)

w rachunkach się pomyliłeś...:

\(\int \sqrt{1-x^2} = \int t * \frac{-t dt}{ \sqrt{1-t^2} } = -\int \frac{t^2dt}{ \sqrt{1-t^2} } \neq - \arcsin t +C\)

[Galen]

\(\int_{}^{} \sqrt{1-x^2}dx= \int_{}^{} \frac{1-x^2}{ \sqrt{1-x^2} }dx= \int_{}^{} \frac{1dx}{ \sqrt{1-x^2} }- \int_{}^{} \frac{x^2}{ \sqrt{1-x^2} }dx =arcsinx- \int_{}^{} \frac{x^2dx}{ \sqrt{1-x^2} }=(***)\)
Tu całkujesz przez części...
\(u=x\;\;\;\;\;\;to\;\;\;\;\;\;u'=1\\v= \sqrt{1-x^2}\;\;\;\;\;\;to\;\;\;\;\;\;v'= \frac{-2x}{2 \sqrt{1-x^2} }= \frac{-x}{ \sqrt{1-x^2} }\)
\(\int_{}^{} u'v=uv- \int_{}^{} uv'\)
\(\int_{}^{} \frac{x^2}{ \sqrt{1-x^2} }dx=x \sqrt{1-x^2}- \int_{}^{} \frac{-x^2}{ \sqrt{1-x^2} }dx=x \sqrt{1-x^2}+ \int_{}^{} \frac{-x^2}{\sqrt{1-x^2}}dx\)
Masz równanie typu \(A=x \sqrt{1-x^2}-A\\stąd\\ 2A=x \sqrt{1-x^2}\\A= \frac{1}{2}x \sqrt{1-x^2}\)
Sprawdź znaki,bo niezbyt uważnie liczę...

[Robakks]

Podstawienia

\(\int{R \left( x, \sqrt{ax^2+bx+c} \right)\mbox{d}x }\)

\(\sqrt{ax^2+bx+c}=t- \sqrt{a}x \qquad a>0\\
ax^2+bx+c=t^2-2\sqrt{a}tx+ax^2\\
bx+c=t^2-2\sqrt{a}tx\\
2\sqrt{a}tx+bx=t^2-c\\
x \left(2\sqrt{a}t+b \right)=t^2-c\\
x=\frac{t^2-c}{2\sqrt{a}t+b} \\
t-\sqrt{a}x=\frac{2\sqrt{a}t^2+bt-\sqrt{a}t^2+\sqrt{a}c}{2\sqrt{a}t+b}\\
\sqrt{ax^2+bx+c}=\frac{\sqrt{a}t^2+bt+\sqrt{a}c}{2\sqrt{a}t+b}\\
\mbox{d}x=\frac{2t\left(2 \sqrt{a}t+b \right)-2\sqrt{a} \left(t^2-c \right) }{\left(2 \sqrt{a}t+b \right)^2}\mbox{d}t\\
\mbox{d}x=2\frac{\sqrt{a}t^2+bt+ \sqrt{a}c }{\left(2 \sqrt{a}t+b \right)^2}\mbox{d}t\\
\int{R \left( \frac{t^2-c}{2\sqrt{a}t+b},\frac{\sqrt{a}t^2+bt+\sqrt{a}c}{2\sqrt{a}t+b}\right) \cdot 2\frac{\sqrt{a}t^2+bt+ \sqrt{a}c }{\left(2 \sqrt{a}t+b \right)^2}\mbox{d}t }\\
=\int{R_{1} \left( t\right) }\mbox{d}t\\\)

\(\sqrt{ax^2+bx+c}= \left(x- \alpha \right)t \qquad a<0\\
\sqrt{a \left(x- \alpha \right) \left(x- \beta \right) }= \left(x- \alpha \right)t\\
a \left(x- \alpha \right) \left(x- \beta \right)=\left(x- \alpha \right)^2t^2\\
a\left(x- \beta \right)=\left(x- \alpha \right)t^2\\
ax-a\beta =xt^2-\alpha t^2\\
ax-xt^2=a\beta-\alpha t^2\\
x \left(a-t^2 \right)=a\beta-\alpha t^2\\
x=\frac{a\beta-\alpha t^2}{a-t^2}=\frac{a\beta-a \alpha +a \alpha -\alpha t^2}{a-t^2}\\
x=\frac{a\beta-\alpha t^2}{a-t^2}= \alpha +a\frac{ \left(\beta- \alpha \right) }{a-t^2}\\
\sqrt{ax^2+bx+c}=a\frac{ \left(\beta- \alpha \right)t }{a-t^2}\\
\mbox{d}x=a\left(\beta- \alpha \right) \left(-1 \right) \left(a-t^2 \right)^{-2} \cdot \left(-2t \right) \mbox{d}t\\
\mbox{d}x=2a\frac{\left(\beta- \alpha \right)t}{\left(a-t^2 \right)^2}\mbox{d}t\\
\int{R\left(\frac{a\beta-\alpha t^2}{a-t^2},a\frac{ \left(\beta- \alpha \right)t }{a-t^2}\right) \cdot 2a\frac{\left(\beta- \alpha \right)t}{\left(a-t^2 \right)^2}\mbox{d}t}\\
\int{R_{3} \left(t \right) \mbox{d}t}\\\)

Jeśli chcesz wiedzieć skąd się te podstawienia wzięły to zajrzyj do Fichtenholza