calka podwojna

[wiindii]

\(\int_{1}^{4}\)[\(\int_{ \sqrt{x} }^{ \sqrt{2x} }\)\((y*e^(2x))dy]dx\) proszę o rozwiązanie tej caleczki (e jest do potęgi 2x)

[radagast]

To chyba będzie tak:
\(\displaystyle \int_{1}^{4}[\int_{ \sqrt{x} }^{ \sqrt{2x} }(y*e^{2x})dy]dx=\int_{1}^{4}e^{2x}\int_{ \sqrt{x} }^{ \sqrt{2x} }ydydx=\int_{1}^{4}e^{2x} \left[ \frac{1}{2}y^2\right] _{ \sqrt{x} }^{ \sqrt{2x} }dx=\int_{1}^{4}e^{2x} \frac{1}{2} \left[2x-x\right]dx=\\
\displaystyle\int_{1}^{4}\frac{x}{2}e^{2x} dx=\int_{1}^{4}\frac{x}{4} \left(e^{2x} \right) ' dx= \left[\frac{x}{4} e^{2x} \right] _{1}^{4}-\int_{1}^{4}\frac{1}{4} e^{2x} dx=e^8- \frac{e^2}{4} - \left[ \frac{e^{2x}}{8} \right]_{1}^{4}=e^8- \frac{e^2}{4} - \frac{e^8}{8} + \frac{e^2}{8} = \\
\displaystyle \frac{7}{8} e^8- \frac{e^2}{8}\)

w jednym mjejscu mam wątpliwość czy nie popełniam błędu ale jeśli to źle , to się pewnie ktoś odezwie.

[wiindii]

Dziekuje Ci za szybka odpowiedz. Przeanalizuje sobie to rozwiązanie może cos znajde .

[radagast]

To ja Ci jeszcze powiem gdzie i jaką mam wątpliwość. Może ktoś się włączy i też będę miała pożytek .
Otóż: już na samym początku wyrzuciłam \(e^{2x}\) przed znak całki po \(dy\) , ale \(x\) i \(y\) to jak małżeństwo: skoro \(y\) zależy od \(x\) , to \(x\) zależy od \(y\), więc nie wiem czy tak można , czy nie. Jeśli nie to oczywiście całe moje rozwiązanie nic nie jest warte (poza tym, że się dowiemy , że tak nie można).

[colo]

Jest dobrze

[wiindii]

Właśnie zastanawiałem się czy tak można, bo nigdy w taki sposób nie rozwiązywałem tego typu zadań. Ale jeżeli jest dobrze, to na egzaminie na pewno zastosuje taka metodę ;D Dziękuje jeszcze raz