Znajdz calke ogolna równania różniczkowego \(2y'cosx=ysinx-y^3\)
równanie różniczkowe.
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
panb
- Expert
- Posty: 5122
- Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
- Lokalizacja: Nowiny Wielkie
- Podziękowania: 19 razy
- Otrzymane podziękowania: 2053 razy
- Płeć:
Niech \(u(x)= \frac{1}{y^2} \So u'= -\frac{2yy'}{y^4}=- \frac{2y'}{y^3}\)
\(2y'\cos x=y\sin x-y^3 /:(-y^3\cos x) \iff - \frac{2y'}{y^3}+ \frac{ \tg x}{y^2}= \frac{1}{\cos x} \iff u'+u \tg x= \frac{1}{\cos x}/\cdot \frac{1}{\cos x}\)
\(\frac{u'}{\cos x} + u \frac{\sin x}{\cos^2 x}= \frac{1}{\cos^2 x} \So \begin{vmatrix} \frac{\sin x}{\cos^2x}= \left(\frac{1}{\cos x} \right)' \end{vmatrix} \So \left( \frac{u}{\cos x} \right)'= \frac{1}{\cos^2x} \iff \frac{u}{\cos x}=\int \frac{dx}{\cos^2x}\)
Zatem \(\frac{u}{\cos x}= \tg x+C \So u=\sin x+C\cos x\)
Wracając z podstawienia \(\frac{1}{y^2}=\sin x+C\cos x \So y= \pm \frac{1}{\sqrt {\sin x+C\cos x}}\)
\(2y'\cos x=y\sin x-y^3 /:(-y^3\cos x) \iff - \frac{2y'}{y^3}+ \frac{ \tg x}{y^2}= \frac{1}{\cos x} \iff u'+u \tg x= \frac{1}{\cos x}/\cdot \frac{1}{\cos x}\)
\(\frac{u'}{\cos x} + u \frac{\sin x}{\cos^2 x}= \frac{1}{\cos^2 x} \So \begin{vmatrix} \frac{\sin x}{\cos^2x}= \left(\frac{1}{\cos x} \right)' \end{vmatrix} \So \left( \frac{u}{\cos x} \right)'= \frac{1}{\cos^2x} \iff \frac{u}{\cos x}=\int \frac{dx}{\cos^2x}\)
Zatem \(\frac{u}{\cos x}= \tg x+C \So u=\sin x+C\cos x\)
Wracając z podstawienia \(\frac{1}{y^2}=\sin x+C\cos x \So y= \pm \frac{1}{\sqrt {\sin x+C\cos x}}\)