Ekstrema lokalne - funkcja wielu zmiennych
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Ekstrema lokalne - funkcja wielu zmiennych
Wyznacz ekstrema lokalne funkcji \(f(x,y,z)=3lnx+2lny+5lnz+ln(22-x-y-z)\)
-
panb
- Expert
- Posty: 5122
- Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
- Lokalizacja: Nowiny Wielkie
- Podziękowania: 19 razy
- Otrzymane podziękowania: 2053 razy
- Płeć:
Procedura jest taka:
1) obliczyć pochodne cząstkowe:
\(\qquad \frac{ \partial f}{ \partial x} = \frac{3}{x} - \frac{1}{22-x-y-z} \\
\qquad \frac{ \partial f}{ \partial y}= \frac{2}{y} - \frac{1}{22-x-y-z} \\
\qquad \frac{ \partial f}{ \partial z}= \frac{5}{z}- \frac{1}{22-x-y-z}\)
2) znaleźć punkty krytyczne (do samodzielnego wykonania)
\(\qquad \begin{cases} \frac{ \partial f}{ \partial x}=0\\ \frac{ \partial f}{ \partial y}=0 \\ \frac{ \partial f}{ \partial z}=0 \end{cases} \iff \begin{cases} x=6 \\y=4 \\z=10\end{cases}\)
3) Obliczyć pochodne drugiego rzędu (najlepiej od razu dla x=6, y=4, z=10 - bo jest tylko jeden punkt krytyczny)
\(\qquad \frac{ \partial^2f}{ \partial x^2}=- \frac{3}{x^2} - \frac{1}{(22-x-y-z)^2}\,\, \left(=- \frac{1}{3} \right),\,\,\, \frac{ \partial^2f}{ \partial x \partial y}=- \frac{1}{(22-x-y-z)^2}=\frac{ \partial^2f}{ \partial x \partial z}\,\,\left(=- \frac{1}{4} \right)\\
\qquad \frac{ \partial^2f}{ \partial y^2}=- \frac{2}{y^2} - \frac{1}{(22-x-y-z)^2}\,\, \left(=- \frac{3}{8} \right),\,\,\, \frac{ \partial^2f}{ \partial y \partial z}=- \frac{1}{(22-x-y-z)^2} \,\, \left( =- \frac{1}{4} \right)\\
\qquad \frac{ \partial^2f}{ \partial z^2}=- \frac{5}{z^2} - \frac{1}{(22-x-y-z)^2}\,\, \left(=- \frac{3}{10} \right)\)
4) budujemy macierz (za przeproszeniem hesjan) \(\begin{bmatrix}-1/3&-1/4&-1/4\\-1/4&-3/8&-1/4\\-1/4,&-1/4&-3/10 \end{bmatrix}\)
5) liczymy wyznaczniki
\(\qquad \Delta_1=- \frac{1}{3}, \quad \Delta_2= \begin{vmatrix}-1/3&-1/4\\-1/4&-3/8 \end{vmatrix}= \frac{1}{16}, \quad \Delta_3= \begin{vmatrix}-1/3&-1/4&-1/4\\-1/4&-3/8&-1/4\\-1/4,&-1/4&-3/10 \end{vmatrix}=- \frac{11}{1920}\)
6) Określenie rodzaju ekstremum (jeśli istnieje)
Ponieważ \(\Delta_1<0,\quad \Delta_2>0,\quad \Delta_3<0\), więc w punkcie (6,4,10) funkcja f posiada maksimum lokalne.
7) Obliczamy wartość tego maksimum: \(f_{max}=f(6,4,10)=\ln200464\)
Tak to się robi. Za obliczenia nie ręczę - proszę sobie wszystko przeliczyć samodzielnie.
SMACZNEGO!
1) obliczyć pochodne cząstkowe:
\(\qquad \frac{ \partial f}{ \partial x} = \frac{3}{x} - \frac{1}{22-x-y-z} \\
\qquad \frac{ \partial f}{ \partial y}= \frac{2}{y} - \frac{1}{22-x-y-z} \\
\qquad \frac{ \partial f}{ \partial z}= \frac{5}{z}- \frac{1}{22-x-y-z}\)
2) znaleźć punkty krytyczne (do samodzielnego wykonania)
\(\qquad \begin{cases} \frac{ \partial f}{ \partial x}=0\\ \frac{ \partial f}{ \partial y}=0 \\ \frac{ \partial f}{ \partial z}=0 \end{cases} \iff \begin{cases} x=6 \\y=4 \\z=10\end{cases}\)
3) Obliczyć pochodne drugiego rzędu (najlepiej od razu dla x=6, y=4, z=10 - bo jest tylko jeden punkt krytyczny)
\(\qquad \frac{ \partial^2f}{ \partial x^2}=- \frac{3}{x^2} - \frac{1}{(22-x-y-z)^2}\,\, \left(=- \frac{1}{3} \right),\,\,\, \frac{ \partial^2f}{ \partial x \partial y}=- \frac{1}{(22-x-y-z)^2}=\frac{ \partial^2f}{ \partial x \partial z}\,\,\left(=- \frac{1}{4} \right)\\
\qquad \frac{ \partial^2f}{ \partial y^2}=- \frac{2}{y^2} - \frac{1}{(22-x-y-z)^2}\,\, \left(=- \frac{3}{8} \right),\,\,\, \frac{ \partial^2f}{ \partial y \partial z}=- \frac{1}{(22-x-y-z)^2} \,\, \left( =- \frac{1}{4} \right)\\
\qquad \frac{ \partial^2f}{ \partial z^2}=- \frac{5}{z^2} - \frac{1}{(22-x-y-z)^2}\,\, \left(=- \frac{3}{10} \right)\)
4) budujemy macierz (za przeproszeniem hesjan) \(\begin{bmatrix}-1/3&-1/4&-1/4\\-1/4&-3/8&-1/4\\-1/4,&-1/4&-3/10 \end{bmatrix}\)
5) liczymy wyznaczniki
\(\qquad \Delta_1=- \frac{1}{3}, \quad \Delta_2= \begin{vmatrix}-1/3&-1/4\\-1/4&-3/8 \end{vmatrix}= \frac{1}{16}, \quad \Delta_3= \begin{vmatrix}-1/3&-1/4&-1/4\\-1/4&-3/8&-1/4\\-1/4,&-1/4&-3/10 \end{vmatrix}=- \frac{11}{1920}\)
6) Określenie rodzaju ekstremum (jeśli istnieje)
Ponieważ \(\Delta_1<0,\quad \Delta_2>0,\quad \Delta_3<0\), więc w punkcie (6,4,10) funkcja f posiada maksimum lokalne.
7) Obliczamy wartość tego maksimum: \(f_{max}=f(6,4,10)=\ln200464\)
Tak to się robi. Za obliczenia nie ręczę - proszę sobie wszystko przeliczyć samodzielnie.
SMACZNEGO!