Całki nieoznaczone

[Gokus]

Oblicz całki nieoznaczone:
1.\(\int xln \frac{1+x}{1-x} dx\)
2.\(\int x^2 arcsinx \ dx\)
3.\(\int \frac{dx}{e^x(3+e^{-x})}\)
4. \(\int \frac{dx}{e^x + 1}\)
5. \(\int \frac{sin^3x}{cosx} dx\)

Będę wdzięczny za każdą pomoc Parę całek z którymi miałem kłopot rozwiązałem już z pomocą przykładów umieszczonych na tej stronie, ale takich całek albo wystarczająco podobnych nie znalazłem.

[miodzio1988]

1. przez czesci od razu

2. przez czesci

3. Podstawienie za \(e^{x}\)

4. Jedynka trygonoemtryczna od razu

[patryk00714]

5. \(\int_{}^{} \frac{\sin ^3 x}{\cos x}dx= \int_{}^{} \frac{(1-\cos ^2x)\sin x}{\cos x}dx= \begin{vmatrix}t=\cos x \\ dt = -\sin xdx \end{vmatrix} = \int_{}^{} \frac{t^2-1}{t}dt= \\=\int_{}^{} tdt- \int_{}^{} \frac{dt}{t}=\frac{1}{2}t^2-\ln |t|=\frac{1}{2} \cos ^2x - \ln |\cos x|+C\)

[Gokus]

@patryk00714 dziękuje za to rozwiązanie.

Próbowałem rozwiązywać kolejne całki ale coś nie wychodziło.
Nie wiem nawet czy dobrze zaczynałem.

1.\(\int xln \frac{1+x}{1-x} dx = \int x [ln(1+x) - ln(1-x) dx = \int xln(1+x) dx - \int xln(1-x) dx = ***\)

\(\int xln(1+x) dx = \begin{vmatrix}f(x) = ln(1+x) \ g(x) = \frac{1}{2}x^2 \\ f'(x) = \frac{1}{1+x} \ g'(x) = \\ x \end{vmatrix} = \frac{1}{2}x^2ln(1+x) - \int \frac{1}{2}x^2 \frac{1}{1+x} dx = \\ \frac{1}{2}x^2ln(1+x) - \frac{1}{2} \int \frac{x^2}{1+x} dx = \\\frac{1}{2}x^2ln(1+x) - \frac{1}{2} \int \frac{x^2-1+1}{1+x} dx = \\ \frac{1}{2}x^2ln(1+x) - \frac{1}{2} \int \frac{x^2-1}{1+x} + \frac{1}{1+x} dx = \\ \frac{1}{2}x^2ln(1+x) - \frac{1}{2} \int \frac{(x+1)(x-1)}{1+x} + \frac{1}{1+x} dx = \\ \frac{1}{2}x^2ln(1+x) - \frac{1}{2} \int (x-1) + \frac{1}{1+x} dx = \\ \frac{1}{2}x^2ln(1+x) - \frac{1}{2} \int x dx + \frac{1}{2} \int dx - \frac{1}{2} \int \frac{1}{x+1} dx = \\ \frac{1}{2}x^2 ln(1+x) - \frac{1}{4}x^2 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} ln(x+1) + C\)

\(\int xln(1-x) dx = \begin{vmatrix}f(x) = ln(1-x) \ g(x) = \frac{1}{2}x^2 \\ f'(x) = \frac{1}{1-x} \ g'(x) = x \end{vmatrix} = \\ \frac{1}{2}x^2ln(1-x) - \int \frac{1}{2}x^2 \frac{1}{1-x} dx = \frac{1}{2}x^2ln(1-x) - \frac{1}{2} \int \frac{x^2}{1-x} dx = ...?\)

\(*** = \frac{1}{2}x^2ln(1+x) - \frac{1}{4}x^2 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} ln(x+1) - [\frac{1}{2}x^2ln(1-x) - \frac{1}{2} \int \frac{x^2}{1-x} dx] = ...?\)

2.\(\int x^2 arcsinx \ dx = \begin{vmatrix}f(x) = arcsinx \ g(x) = \frac{1}{3}x^3 \\ f'(x) = \frac{1}{ \sqrt{1 - x^2} } \ g'(x) = x^2 \end{vmatrix} = \frac{1}{3}x^3arcsinx - \frac{1}{3} \int \frac{x^3}{ \sqrt{1 - x^2} } = ...?\)

3. \(\int \frac{dx}{e^x(3+e^{-x})} = \begin{vmatrix}t=e^x \\ dt = e^x dx \\ dx = \frac{dt}{e^x} \end{vmatrix} = \int \frac{1}{t(3 + \frac{1}{t}) } \frac{dt}{t} = \int \frac{dt}{t^2 (3 + \frac{1}{t}) } = ...?\)

4. \(\int \frac{dx}{e^x + 1} = \begin{vmatrix}t = e^x \\ dt = e^x dx \\ dx = \frac{dt}{e^x} \end{vmatrix} = \int \frac{1}{t+1} \frac{dt}{e^x} = \int \frac{dt}{t(t+1)} = ...?\)

[radagast]

4. \(\int \frac{dx}{e^x + 1} = \begin{vmatrix}t = e^x \\ dt = e^x dx \\ dx = \frac{dt}{e^x} \end{vmatrix} = \int \frac{1}{t+1} \frac{dt}{e^x} = \int \frac{dt}{t(t+1)} = \int \frac{1}{t} - \frac{1 }{t+1} dt=\\ =\int \frac{dt}{t} - \int =\frac{dt }{t+1} =ln|t|-ln|t+1|+C=ln \left| \frac{t}{t+1}\right| +C\)

[radagast]

\(\)
3. \(\int \frac{dx}{e^x(3+e^{-x})} = \begin{vmatrix}t=e^x \\ dt = e^x dx \\ dx = \frac{dt}{e^x} \end{vmatrix} = \int \frac{1}{t(3 + \frac{1}{t}) } \frac{dt}{t} = \int \frac{dt}{t^2 (3 + \frac{1}{t}) } =\\ =\int \frac{dt}{t (3t + 1) } = \int \frac{1}{t} - \frac{3}{3t + 1 } dt=ln|t|-ln|3t+1|+C=ln \left | \frac{t}{3t+1} \right| +C\)

[patryk00714]

\(\int_{}^{} x\ln(1-x)dx= \int_{}^{} (\frac{1}{2}x^2)'\ln(1-x)dx=\frac{1}{2}x^2\ln(1-x)-\frac{1}{2} \int_{}^{} x^2 \cdot \frac{-1}{1-x}dx=\frac{1}{2}x^2\ln(1-x)+\frac{1}{2} \int_{}^{} \frac{x^2}{1-x}dx\)

policzę osobno \(\int_{}^{} \frac{x^2}{1-x}dx= \int_{}^{} \frac{x^2-1+1}{1-x}dx= \int_{}^{} \frac{(x-1)(x+1)}{1-x}dx+ \int_{}^{} \frac{1}{1-x}dx= \int_{}^{} (-x-1)dx-\ln|1-x|=-\frac{1}{2}x^2-x-\ln |1-x|\)

no i wystarczy podstawić

[Gokus]

Mógłby ktoś sprawdzić gdzie robię błąd w obliczaniu tej całki? :

\(\int \frac{1}{(x+3)\sqrt{x+1}} dx = \begin{vmatrix} t = \sqrt{x+1} \\ t^2 = x + 1 \\ x = t^2 - 1 \\ dt = \frac{1}{2\sqrt{x+1}}dx \\dx = 2\sqrt{x+1}dt \end{vmatrix} = \int \frac{1}{(t^2 + 2)t} 2\sqrt{x+1}dt = \int \frac{2\sqrt{t^2}}{(t^2 + 2)t} dt =\)
\(\int \frac{2t}{2t + t^3} dt = \int \frac{2t}{ 2t(1 + \frac{t^2}{2}) } dt = \int \frac{1}{1+\frac{t^2}{2}} dt =\)
\(\int \frac{dt}{1+{(\frac{t}{\sqrt{2}})}^2} = arctg \frac{t}{\sqrt{2}} + C = arctg \frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{2}} + C\)

W odpowiedzi jest natomiast: \(\sqrt{2} arctg \frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{2}} + C\)
Taki sam wynik pokazuje Wolfram Alpha czyli odpowiedź nie jest zła.

Brakuje w takim razie tego pierwiastka na początku wyniku. Ja jakoś nie mogę się dopatrzyć gdzie w moich obliczeniach jest błąd.

[Galen]

W podstawieniu masz \(t=\sqrt{x+1}\\to\\t^2=x+1\\stąd\\x=t^2-1\\więc\;\;\;dx=2t\;dt\)
Masz całkę:
\(\int_{}^{} \frac{2t}{(t^2+1)t}dt= 2\int_{}^{} \frac{dt}{t^2+( \sqrt{2})^2 }=2 \cdot \frac{1}{ \sqrt{2}arctg{ \frac{t}{ \sqrt{2} } } }=\\= \sqrt{2}arctg \frac{ \sqrt{x+1} }{ \sqrt{2} }\)

Twój błąd to liczenie dt,gdy Ty masz dx zastąpić przez dt,czyli należy obliczyć dx z użyciem t.