Witam, pomoże mi ktoś z tymi dwoma zadaniami?
1. Wyznaczyć granice ciągów
a) \(a_n=(cos n) \cdot (sin \frac{1}{n})\)
b) \(b_n=\bigg( \frac{n^2+n+5}{n^2+4}\bigg)^(n^2)\) - tu ma być cały ten nawias podniesiony do potęgi \(n^2\), nie wiem czemu te nawiasy się tak porozjeżdżały, a bez nawiasów, w ogóle nie działało.
c) \(c_n=\frac{cos n!}{n}\)
2. Niech \(\Lim_{n\to \infty }\bigg|\frac{a_(n+1)}{a_n}\bigg|=q<1\). Wykazać, że \(\Lim_{n\to \infty} a_n=0\)
Bardzo proszę o jasne wytłumaczenie, chciałabym to zrozumieć.
Granice
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Witam na forum
- Posty: 7
- Rejestracja: 02 lis 2014, 18:12
- Podziękowania: 11 razy
- Płeć:
-
- Guru
- Posty: 17549
- Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękowania: 41 razy
- Otrzymane podziękowania: 7435 razy
- Płeć:
Re: Granice
\(-sin \frac{1}{n}\le (cos n) \cdot (sin \frac{1}{n}) \le sin \frac{1}{n}\)catwoooman pisze:
1. Wyznaczyć granice ciągów
a) \(a_n=(cos n) \cdot (sin \frac{1}{n})\)
\(\Lim_{n\to \infty } sin \frac{1}{n}=0\)
\(\Lim_{n\to \infty } -sin \frac{1}{n}=0\)
No to , na podstawie twierdzenia o trzech ciągach
\(\Lim_{n\to \infty } (cos n) \cdot (sin \frac{1}{n}) =0\)
-
- Guru
- Posty: 17549
- Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękowania: 41 razy
- Otrzymane podziękowania: 7435 razy
- Płeć:
Re: Granice
\(\left( \frac{n^2+n+5}{n^2+4}\right) ^{n^2}= \left( \frac{n^2+4+n+1}{n^2+4}\right) ^{n^2}=\left( 1+\frac{n+1}{n^2+4}\right) ^{n^2}=\left( 1+\frac{n+1}{n^2+4}\right) ^{\frac{n^2+4}{n+1} \cdot \frac{n+1}{n^2+4} \cdot n^2}=e^{\frac{n+1}{n^2+4} \cdot n^2}=e^ \infty = \infty\)catwoooman pisze:
1. Wyznaczyć granice ciągów
b) \(b_n=\bigg( \frac{n^2+n+5}{n^2+4}\bigg)^(n^2)\) - tu ma być cały ten nawias podniesiony do potęgi \(n^2\), nie wiem czemu te nawiasy się tak porozjeżdżały, a bez nawiasów, w ogóle nie działało.
-
- Guru
- Posty: 17549
- Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękowania: 41 razy
- Otrzymane podziękowania: 7435 razy
- Płeć:
Re: Granice
\(- \frac{1}{n} \le \frac{cos n!}{n} \le \frac{1}{n}\)catwoooman pisze:
1. Wyznaczyć granice ciągów
c) \(c_n=\frac{cos n!}{n}\)
zatem
\(\Lim_{n\to \infty } \frac{cos n!}{n}=0\)
-
- Stały bywalec
- Posty: 871
- Rejestracja: 11 gru 2010, 17:46
- Lokalizacja: Puck i Trójmiasto
- Otrzymane podziękowania: 415 razy
- Płeć:
Re: Granice
catwoooman pisze:
2. Niech \(\Lim_{n\to \infty }\bigg|\frac{a_{n+1}}{a_n}\bigg|=q<1\). Wykazać, że \(\Lim_{n\to \infty} a_n=0\)
.
istnieje \(N \in \nn\) oraz \(0 \leq q < s < 1\) , że dla \(n \geq N: |a_{n+1}| \leq s \cdot |a_n|\).
\(n = N: 0 \leq |a_{N+1}| \leq s \cdot |a_N|\)
\(n = N + 1: 0\leq |a_{N+2}| \leq s^{2} |a_N|\)
\(\ldots\)
\(n = N + (n-N): 0\leq |a_{n+1}| \leq s^{n-N+1} |a_N|\)
ciąg \((s^{n-N+1} |a_N|)_{n \geq N}\) jest zbieżny do \(0\)
na mocy tw. o 3 ciągach: \((|a_{n+1}|)_{n \geq N}\) jest zbieżny do zera
zatem \((|a_{n}|)_{n \in \nn}\) jest zbieżny do zera, stąd również \((a_{n})_{n \in \nn}\) jest zbieżny do zera