Granice

[catwoooman]

Witam, pomoże mi ktoś z tymi dwoma zadaniami?

1. Wyznaczyć granice ciągów
a) \(a_n=(cos n) \cdot (sin \frac{1}{n})\)

b) \(b_n=\bigg( \frac{n^2+n+5}{n^2+4}\bigg)^(n^2)\) - tu ma być cały ten nawias podniesiony do potęgi \(n^2\), nie wiem czemu te nawiasy się tak porozjeżdżały, a bez nawiasów, w ogóle nie działało.

c) \(c_n=\frac{cos n!}{n}\)

2. Niech \(\Lim_{n\to \infty }\bigg|\frac{a_(n+1)}{a_n}\bigg|=q<1\). Wykazać, że \(\Lim_{n\to \infty} a_n=0\)


Bardzo proszę o jasne wytłumaczenie, chciałabym to zrozumieć.

[radagast]

1. Wyznaczyć granice ciągów
a) \(a_n=(cos n) \cdot (sin \frac{1}{n})\)

\(-sin \frac{1}{n}\le (cos n) \cdot (sin \frac{1}{n}) \le sin \frac{1}{n}\)

\(\Lim_{n\to \infty } sin \frac{1}{n}=0\)

\(\Lim_{n\to \infty } -sin \frac{1}{n}=0\)

No to , na podstawie twierdzenia o trzech ciągach
\(\Lim_{n\to \infty } (cos n) \cdot (sin \frac{1}{n}) =0\)

[radagast]

1. Wyznaczyć granice ciągów

b) \(b_n=\bigg( \frac{n^2+n+5}{n^2+4}\bigg)^(n^2)\) - tu ma być cały ten nawias podniesiony do potęgi \(n^2\), nie wiem czemu te nawiasy się tak porozjeżdżały, a bez nawiasów, w ogóle nie działało.

\(\left( \frac{n^2+n+5}{n^2+4}\right) ^{n^2}= \left( \frac{n^2+4+n+1}{n^2+4}\right) ^{n^2}=\left( 1+\frac{n+1}{n^2+4}\right) ^{n^2}=\left( 1+\frac{n+1}{n^2+4}\right) ^{\frac{n^2+4}{n+1} \cdot \frac{n+1}{n^2+4} \cdot n^2}=e^{\frac{n+1}{n^2+4} \cdot n^2}=e^ \infty = \infty\)

[radagast]

1. Wyznaczyć granice ciągów


c) \(c_n=\frac{cos n!}{n}\)

\(- \frac{1}{n} \le \frac{cos n!}{n} \le \frac{1}{n}\)
zatem
\(\Lim_{n\to \infty } \frac{cos n!}{n}=0\)

[sebnorth]

2. Niech \(\Lim_{n\to \infty }\bigg|\frac{a_{n+1}}{a_n}\bigg|=q<1\). Wykazać, że \(\Lim_{n\to \infty} a_n=0\)
.

istnieje \(N \in \nn\) oraz \(0 \leq q < s < 1\) , że dla \(n \geq N: |a_{n+1}| \leq s \cdot |a_n|\).

\(n = N: 0 \leq |a_{N+1}| \leq s \cdot |a_N|\)

\(n = N + 1: 0\leq |a_{N+2}| \leq s^{2} |a_N|\)

\(\ldots\)

\(n = N + (n-N): 0\leq |a_{n+1}| \leq s^{n-N+1} |a_N|\)

ciąg \((s^{n-N+1} |a_N|)_{n \geq N}\) jest zbieżny do \(0\)

na mocy tw. o 3 ciągach: \((|a_{n+1}|)_{n \geq N}\) jest zbieżny do zera

zatem \((|a_{n}|)_{n \in \nn}\) jest zbieżny do zera, stąd również \((a_{n})_{n \in \nn}\) jest zbieżny do zera