Obliczenie granicy ciagu

[kazdypurple]

Witam,


Czy mógłby ktoś pomóc w zadanku:

Obliczyć granicę ciągu o wyrazie ogólnym:

Zad 1.

\(u_n\) = \(\sqrt{n+ \sqrt{n} } -\) \(\sqrt{n- \sqrt{n} }\)


Zad 2.

\(u_n\) = \(\sqrt{n(n - \sqrt{n^2 - 1} )}\)

Dziękuję

[Galen]

Zad.1
Pomnóż i podziel przeż tzw,"sprzężenie"
\(\frac{ (\sqrt{n+ \sqrt{n} }- \sqrt{n- \sqrt{n} })( \sqrt{n+ \sqrt{n} }+ \sqrt{n- \sqrt{n}) } }{ \sqrt{n+ \sqrt{n} }+ \sqrt{n- \sqrt{n} } }= \frac{n+ \sqrt{n}-n+ \sqrt{n} }{ \sqrt{n+ \sqrt{n} }+ \sqrt{n- \sqrt{n} } }\)
Do obliczania granicy w mianowniku wyłącz pierw. z n i skróć...
\(\Lim_{n\to \infty } \frac{2 \sqrt{n} }{ \sqrt{n}( \sqrt{1+ \frac{1}{ \sqrt{n} } } + \sqrt{1- \frac{1}{ \sqrt{n} } } )}= \frac{2}{1+1}=1\)

[Galen]

Zad.2
Pobaw się trochę z wyrażeniem pod pierwiastkiem.
\(n(n- \sqrt{n^2-1})= \frac{n(n- \sqrt{n^2-1} )(n+ \sqrt{n^2+1} )}{(n+ \sqrt{n^2-1} )}= \frac{n(n^2-n^2+1)}{n(1+ \sqrt{1- \frac{1}{n^2} }) }\)
Przechodząc do granicy skracasz n,odsyłasz 1/n do zera i jest:
\(\Lim_{n\to \infty }u_n= \sqrt{\frac{1}{1+1}}= \sqrt{ \frac{1}{2} }= \frac{ \sqrt{2} }{2}\)