całka potrójna

[korek1991]

Oblicz całkę potrójną:
\(\int \int_{B} \int (x,y,z)dxdydz=\)?
\(B= \left[0,\pi \right] ^3,\)
\(f(x,y,z)=\sin x \sin(x+y) \sin(x+y+z)\)
Bardzo proszę o pomoc.

[panb]

A znasz może wynik? Mnie wyszło zero ale nie wiem czy gdzieś w znaku się nie pomyliłem.

[korek1991]

tak, w odpowiedzi jest 0:)

[panb]

\(\iiint_Bf(x,y,z)dxdydz= \int_{0}^{\pi} \sin x \left\{ \int_{0}^{\pi} \sin(x+y) \left[ \int_{0}^{\pi}\sin(x+y+z)dz \right] dy \right\}dx\)
Policzmy, tę najbardziej wewnętrzną całkę - skorzystamy z wzoru \(\cos(x+\pi)=-\cos x\).
\(\int_{0}^{\pi} \sin(x+y+z)dz= \left[-\cos(x+y+z) \right]_{z=0}^{z=\pi}=-\cos(x+y+\pi)+\cos(x+y+0)= \\=\cos(x+y)+\cos(x+y)=2\cos(x+y)\).
Teraz \(\iiint_Bf(x,y,z)dxdydz= \int_{0}^{\pi} \sin x \left[ \int_{0}^{\pi} 2\sin(x+y)\cos(x+y)dy \right]dx= \int_{0}^{\pi} \sin x \left[ \int_{0}^{\pi}\sin2(x+y)dy \right]dx\)

Policzymy wewnętrzną całkę: \(\int_{0}^{\pi} \sin2(x+y)dy= \left[-\frac{1}{2}\cos(2x+2y)\right]_{y=0}^{y=\pi}=-\frac{1}{2} \left( \cos(2x+2\pi)-\cos(2x+0)\right)= \\= -\frac{1}{2}(\cos2x-\cos2x)=0\)

Teraz \(\iiint_Bf(x,y,z)dxdydz= \int_{0}^{\pi} \left( \sin x \cdot 0\right) dx=0\)