monotniczność, rozbieżność ciągów, granica górna i dolna

Granice, pochodne, całki, szeregi
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Magda6686
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 66
Rejestracja: 11 paź 2014, 19:43
Podziękowania: 9 razy
Płeć:

monotniczność, rozbieżność ciągów, granica górna i dolna

Post autor: Magda6686 »

Proszę o pomoc w poniższych zadaniach, jedno zrobiłam , pozostałych przykładów nie wiem jak zacząć:
Zad 1.
Udowodnić że ciąg \(d_{n} = (1+ \frac{1}{n} )^{n+1}\) jest ciągiem malejącym.
Czy moje rozwiązanie jest poprawne?

Założę że jest prawdą , że:
\((1 + \frac{1}{n+1} )^{n+2} < (1 + \frac{1}{n} )^{n+1}\)
i dojdę do czegoś zawsze prawdziwego , w ten sposób:

\((\frac{n+2}{n+1} )^{n+2} < (1 + \frac{n+1}{n} )^{n+1}\)
\(\frac{n+2}{n+1} * (\frac{n+2}{n+1} )^{n+1} < (1 + \frac{n+1}{n} )^{n+1}\)
\(\frac{n+2}{n+1} < (1 + \frac{(n+1)(n+1)}{n(n+2)} )^{n+1}\)

Korzystając z nierówności Bernoullego:
\(\frac{n+2}{n+1} < 1 + \frac{(n+1)(n+1)(n+1)}{n(n+2)} <(1 + \frac{(n+1)(n+1)}{n(n+2)} )^{n+1}\)

Zajmę się teraz już tylko tym:
\(\frac{n+2}{n+1} < 1 + \frac{(n+1)(n+1)(n+1)}{n(n+2)}\)
Wymnażając mianowniki otrzymuje:
n(n+2)^{2} < (n+1)(n^{3} + 4n^{2} + 5n + 1)
\(0<n^{4} + 4n^{3} + 5n^{2} + 2n + 1\)
To powyżej jest już prawdziwe dla każdego \(n \in \nn\)

Zad 2:

Udowodnić że poniższy ciąg jest rozbieżny:
\(c_{n} = \frac{n+2}{n+5}(-1)^{n(n+1)/2}\)

Zad 3:
Obliczyć granice górną i dolną ciągów:
\(a_{n} = 1+ 2(-1)^{n+1} + 3(-1)^{ \frac{n(n-1)}{2} }\)
\(d_{n} = \sum_{i=1}^{n} \frac{(-1)^{n}}{ \sqrt{n^{2} + i} }\)


Proszę o przykłady rozwiązania.
octahedron
Expert
Expert
Posty: 6762
Rejestracja: 19 mar 2011, 00:22
Otrzymane podziękowania: 3034 razy
Płeć:

Post autor: octahedron »

W zad. 1 \(\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}\) zmienia się nagle w drugiej linijce w \(\left(1+\frac{n+1}{n}\right)^{n+1}\)

\(\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}:\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+2}=\frac{(n+1)^{2n+3}}{n^{n+1}(n+2)^{n+2}}=\left(\frac{(n+1)^2}{n(n+2)}\right)^{n+1}\frac{n+1}{n+2}=\left(1+\frac{1}{n(n+2)}\right)^{n+1}\frac{n+1}{n+2}>\\
>\left(1+\frac{n+1}{n(n+2)}\right)\frac{n+1}{n+2}=\frac{n^3+4n^2+4n+1}{n^3+4n^2+4n}>1\)
octahedron
Expert
Expert
Posty: 6762
Rejestracja: 19 mar 2011, 00:22
Otrzymane podziękowania: 3034 razy
Płeć:

Post autor: octahedron »

Zad. 2

\(c_{4k}=\frac{4k+2}{4k+5}(-1)^{2k(4k+1)}=\frac{4k+2}{4k+5}\to 1\\
c_{4k+2}=\frac{4k+4}{4k+7}(-1)^{(2k+1)(4k+3)}=-\frac{4k+4}{4k+7}\to -1\\\)

Mamy więc dwa podciągi zbieżne do różnych granic, co wyklucza zbieżność ciągu.
octahedron
Expert
Expert
Posty: 6762
Rejestracja: 19 mar 2011, 00:22
Otrzymane podziękowania: 3034 razy
Płeć:

Post autor: octahedron »

Zad. 3

\(a_{4k+1}=1+2\cdot(-1)^{4k+2}+3\cdot(-1)^{2k(4k+1)}=1+2+3=6\ge a_n\Rightarrow\limsup\limits_{n\to\infty}a_n=6\\
a_{4k+2}=1+2\cdot(-1)^{4k+3}+3\cdot(-1)^{(2k+1)(4k+1)}=1-2-3=-4\le a_n\Rightarrow\liminf\limits_{n\to\infty}a_n=-4\\\)


\(\frac{n}{\sqrt{n^2}}=1\ge|d_n|\ge\frac{n}{\sqrt{n^2+n}}\to 1\\
d_{2k}\to 1=\limsup\limits_{n\to\infty}d_n\\
d_{2k+1}\to -1=\liminf\limits_{n\to\infty}d_n\\\)
Magda6686
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 66
Rejestracja: 11 paź 2014, 19:43
Podziękowania: 9 razy
Płeć:

Re: monotniczność, rozbieżność ciągów, granica górna i dolna

Post autor: Magda6686 »

Do zad 2 i 3.Skąd wiedzieliście ze trzeba sprawdzić podciągi postaci 4k ,4k+1,4k+2,4k+3 .Jedyne co wymyśliłam to żeby wypisać kilka/kilkanaście wyrazów i zauważyć gdzie mogą być zbieżne podciągi. Jest jakiś lepszt sposób?
octahedron
Expert
Expert
Posty: 6762
Rejestracja: 19 mar 2011, 00:22
Otrzymane podziękowania: 3034 razy
Płeć:

Post autor: octahedron »

Rzecz w tym, czy wykładnik \(\frac{n(n+1)}{2}\) jest parzysty, czy nieparzysty. Jeśli za \(n\) weźmiemy kolejne liczby parzyste, to \(\frac{n}{2}\), jak i cały wykładnik, jest na przemian parzysty i nieparzysty. Zatem co czwarte \(n\) daje nam ten sam znak wyrażenia \((-1)^{\frac{n(n+1)}{2}}\).
Magda6686
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 66
Rejestracja: 11 paź 2014, 19:43
Podziękowania: 9 razy
Płeć:

Re: monotniczność, rozbieżność ciągów, granica górna i dolna

Post autor: Magda6686 »

dziękuje___
ODPOWIEDZ