całka funkcja trygonometryczna

Granice, pochodne, całki, szeregi
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
tajedyna
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 54
Rejestracja: 06 maja 2014, 16:47
Podziękowania: 37 razy

całka funkcja trygonometryczna

Post autor: tajedyna »

Oblicz całkę z funkcji trygonometrycznych:
\(\int \frac{1+ \sin x}{1+cos x}dx\)
Pomoże ktoś?
Awatar użytkownika
patryk00714
Mistrz
Mistrz
Posty: 8799
Rejestracja: 13 mar 2011, 12:28
Lokalizacja: Śmigiel
Podziękowania: 92 razy
Otrzymane podziękowania: 4449 razy
Płeć:

Post autor: patryk00714 »

tę całkę rozwiązuje się za pomocą podstawienia \(t=\tg \frac{x}{2}\) lub za pomocą analizy zespolonej podstawiając

\(\cos x =\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2} \;\;\ \sin x =\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\) i całkować po częściach rzeczywistych
Otrzymałeś odpowiedź do umieszczonego zadania? Podziękuj autorowi za rozwiązanie!!

\(\exp (i \pi) +1=0\)
Awatar użytkownika
eresh
Guru
Guru
Posty: 16825
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Podziękowania: 6 razy
Otrzymane podziękowania: 10381 razy
Płeć:

Re: całka funkcja trygonometryczna

Post autor: eresh »

tajedyna pisze:Oblicz całkę z funkcji trygonometrycznych:
\(\int \frac{1+ \sin x}{1+cos x}dx\)
Pomoże ktoś?
\(t=\tg\frac{x}{2}\\
dx=\frac{2dt}{t^2+1}\\
\sin x=\frac{2t}{t^2+1}\\
\cos x=\frac{1-t^2}{t^2+1}\)


\(\int\frac{1+\frac{2t}{t^2+1}}{1+\frac{1-t^2}{t^2+1}}\cdot\frac{2}{t^2+1}dt=\\
=\int\left(\frac{t^2+1+2t}{t^2+1}\cdot\frac{t^2+1}{t^2+1+1-t^2}\cdot\frac{2}{t^2+1}\right)dt=\\
=\int\frac{2(t+1)^2}{2(t^2+1)}dt=\int\frac{t^2+1+2t}{t^2+1}=\int dt+\int\frac{2t}{t^2+1}=t+\ln|t^2+1|+C=\\
=\tg\frac{x}{2}+\ln\left(\tg^2\frac{x}{2}+1\right)+C\)
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę 👍
ODPOWIEDZ