Styczna do wykresu funkcji

[djarta]

1. Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji \(f(x)= \frac{1}{3}x^3-9x- \frac{1}{3}\) w punkcie P(-2, y0). Następnie wyznacz współrzędne drugiego punktu wspólnego tej stycznej z wykresem funkcji f.

Adnotacja:
Równanie stycznej mi wyszło, wynosi oni y=-5x+5, niestety nie mogę sobie poradzić z podkreśloną częścią zadania. Nic mi nie wychodzi (a bawie się ciagle na układzie równań)

2. Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji \(f(x)= \frac{x^2}{2-x}\) w punkcie P(x0, -8).
Ile punktów wspólnych z wykresem funkcji f ma ta styczna.

Adnotacja:
Bez żadnych problemów obliczyłem równanie stycznej które wynosi y=-8, lecz niestety nawet nie wiem jak zabrać się za podkreśloną część zadania. Totalnie nic.

3. Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji \(f(x)= \frac{x^2}{x+2}\) w punkcie P(x0, -9).
Ile punktów wspólnych z wykresem funkcji f ma ta styczna.

Adnotacja:
Kurcze, obliczyłem obydwa równania stycznej, jedna to \(y=\frac{3}{4}x-4.5\) i drugą \(y=-3x-27\) lecz ta druga jest niby zła (w odpowiedziach pisze y=-3x-18 lecz nie mogę się u siebie doszukać błędu)
Tak samo jak w poprzednim zadaniu nie wiem jak zabrać się za podkreśloną część.

Proszę o pomoc.

[panb]

ad 1.
Dlaczego układ równań?
Trzeba rozwiązać równanie: \(\frac{1}{3}x^3-9x-\frac{1}{3}=-5x+5\)
Po uporządkowaniu, trzeba strzelać w dzielniki wolnego wyrazu.
Właściwie to nie trzeba, bo jednym jest (-2)!

[Galen]

1)
Styczna \(y=-5x+5\) ma dwa punkty wspólne z wykresem y=f(x)
jeden to (-2;15)
Drugi znajdę z równania:
\(\frac{1}{3}x^3-9x- \frac{1}{3}=-5x+5\\x^3-12x-16=0\\w(-2)=0\;\;\;\;i\;\;\;W(4)=0\\Drugi\;punkt:(4;f(4))\\czyli\\(4;-15)\)

[djarta]

Pierwsze zrozumiałem i ogólnie mój błąd - zapomniało się o Hornerze i, że wstawia liczby włącznie ze znakiem, ehh...

[Galen]

Zad.3
\(f(x)= \frac{x^2}{x+2}\;\;\;i\;\;\;f(x)=-9\\ \frac{x^2}{x+2}=-9\\x_1=-6\\x_2=-3\)
Masz dwa punkty,w których mają być wyznaczone styczne:
\(A=(-6;-9)\;\;\;i\;\;\;\;B=(-3;-9)\)
\(f'(x)= \frac{2x(x+2)-x^2\cdot 1}{(x+2)^2}\\f'(x)= \frac{x^2+4x}{(x+2)^2}\\f'(-6)= \frac{3}{4}\\Styczna \;w\;A\;:y+9= \frac{3}{4}(x+6)\\y= \frac{3}{4}x-4,5\)
Styczna w B
\(f'(-3)=-3\\y+9=-3(x+3)\\y=-3x-18\)

[djarta]

Kurcze, złą liczbe wziąłem, Styczną A masz źle policzoną.
Głównie mi chodzi o rozwiązanie w 2 i 3: Ile punktów wspólnych z wykresem funkcji f ma ta styczna.

[Galen]

W stycznej dla A zgubił się przecinek i 5.
Już jest.
W zad.3 styczne mają po jednym punkcie wspólnym z wykresem ,tj.punkt styczności jest jedynym punktem wspólnym.
Pokażesz to równaniami:
\(-3x-18= \frac{x^2}{x+2}\;\;\;\;\;oraz\;\;\;\;\; \frac{3}{4}x-4,5= \frac{x^2}{x+2}\\
otrzymasz\\
x^2+6x+9=0\;\;\;\;\;\;oraz\;\;\;\;\;\;\;x^2+12x+36=0\\czyli\\
(x+3)^2=0 \;\; \So \;\;x=-3\;\;\;\;\;\;oraz\;\;\;\;\;(x+6)^2=0\;\; \So \;\;x=-6\)

[Galen]

Zad.2
\(f(x)= \frac{x^2}{2-x}\\styczna\;\;\;\;\;y=-8\\Punkt\;wspólny\;z\;równania:\\ \frac{x^2}{2-x}=-8\\x^2=-16+8x\\x^2-8x+16=0\\\Delta=0\\x= \frac{8}{2}=4\)
Jeden punkt wspólny (4;-8)

[djarta]

Oki, ale skąd i kiedy Wiem gdzie jest jeden punkt wspólny a np. gdzie są dwa punkty wspólne?

[Galen]

Masz równanie:
wzór funkcji po jednej stronie i wzór stycznej po drugiej stronie.
Liczba rozwiązań tego równania jest liczbą punktów wspólnych wykresu funkcji i prostej stycznej.

[djarta]

W porządku, rozumiem.
Pozdrawiam i dzięki za ogromną pomoc!