Dowód z definicji kresu
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Dowód z definicji kresu
Potrzebuje dowodu (podobno dowodzi się indukcyjnie z definicji kresu) że jeśli każdy element pewnego zbioru A spełnia nierówność \(x \le M\)to także\(sup (A) \le M\)
-
- Fachowiec
- Posty: 2946
- Rejestracja: 20 gru 2013, 21:41
- Lokalizacja: Radom
- Otrzymane podziękowania: 1556 razy
- Płeć:
TW : Jeżeli zbiór \(A\) jest ograniczony z góry , to ma kres górny.
Stąd wyprowadza się jako pożyteczny wniosek ten fakcik
Jeżeli wszystkie liczby \(x\) z pewnego zbioru spełniają nierówność \(x \le M\) , to również \(sup \left\{x \right\} \le M\)
Dowód powyższego twierdzenia i uzasadnienie faktu pomieszczony jest w
Rachunek różniczkowy i całkowy : G.M Fichtenholz Tom I , Krańce zbiorów liczbowych.
Stąd wyprowadza się jako pożyteczny wniosek ten fakcik
Jeżeli wszystkie liczby \(x\) z pewnego zbioru spełniają nierówność \(x \le M\) , to również \(sup \left\{x \right\} \le M\)
Dowód powyższego twierdzenia i uzasadnienie faktu pomieszczony jest w
Rachunek różniczkowy i całkowy : G.M Fichtenholz Tom I , Krańce zbiorów liczbowych.
Re: Dowód z definicji kresu
Mam tą książke ale w rozdziale który podales znalazłam tylko dowód twierdzenia na to ze istanieje kres zbioru ograniczonego (z góry bądź z dołu) (dziwne, myślałam że to jest aksjomat ciągłości).
W każdym razie nie o to mi chodzi, wiec gdzie jest dowód którego szukam?
W każdym razie nie o to mi chodzi, wiec gdzie jest dowód którego szukam?
-
- Expert
- Posty: 6762
- Rejestracja: 19 mar 2011, 00:22
- Otrzymane podziękowania: 3034 razy
- Płeć:
Re: Dowód z definicji kresu
Nie przekonuje mnie to.
po pierwsze co to jest x. Zakładam ze mówimy tu o supremum zbioru A czyli powinno być sup ( A).
Po drugie z tego ze
sup (A) > M
i
sup(A) >= y
nie wynika że:
sup (A)> y > M
Nie rozumiem tego dowodu. Czy tu jest błąd czy ja czegoś nie wiem?
po pierwsze co to jest x. Zakładam ze mówimy tu o supremum zbioru A czyli powinno być sup ( A).
Po drugie z tego ze
sup (A) > M
i
sup(A) >= y
nie wynika że:
sup (A)> y > M
Nie rozumiem tego dowodu. Czy tu jest błąd czy ja czegoś nie wiem?
- panb
- Expert
- Posty: 5122
- Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
- Lokalizacja: Nowiny Wielkie
- Podziękowania: 19 razy
- Otrzymane podziękowania: 2053 razy
- Płeć:
Definicja mówi: \(\sup(A)=M \iff \forall x \in A,\,\,\, x \le M \wedge \forall \epsilon>0 \,\, \exists x_0 \in A: x_0>M-\epsilon\)
Dowód (nie wprost):
Załóżmy, że \(\forall x \in A, \,\,x \le M \wedge \sup(A)>M\)
Niech \(\sup(A)=S>M \So S=M+\epsilon_0, \epsilon_0>0\)
Zgodnie z definicją supremum \(\forall x \in A, \,\, x \le M+\epsilon_0 \wedge \forall \epsilon>0 \,\, \exists x_0 \in A: x_0>S-\epsilon=M + \epsilon_0 -\epsilon\)
Skoro ta nierówność zachodzi \(\forall \epsilon >0\), to również dla \(\epsilon=\epsilon_0\)
Zatem \(\exists x_0 \in A: x_0>M+\epsilon_0-\epsilon_0 \iff \exists x \in A: x>M\\) co przeczy założeniu że \(\forall x \in A, \,\,x \le M\) i kończy dowód.
Czy takie rozumowanie przekonuje cię?
Dowód (nie wprost):
Załóżmy, że \(\forall x \in A, \,\,x \le M \wedge \sup(A)>M\)
Niech \(\sup(A)=S>M \So S=M+\epsilon_0, \epsilon_0>0\)
Zgodnie z definicją supremum \(\forall x \in A, \,\, x \le M+\epsilon_0 \wedge \forall \epsilon>0 \,\, \exists x_0 \in A: x_0>S-\epsilon=M + \epsilon_0 -\epsilon\)
Skoro ta nierówność zachodzi \(\forall \epsilon >0\), to również dla \(\epsilon=\epsilon_0\)
Zatem \(\exists x_0 \in A: x_0>M+\epsilon_0-\epsilon_0 \iff \exists x \in A: x>M\\) co przeczy założeniu że \(\forall x \in A, \,\,x \le M\) i kończy dowód.
Czy takie rozumowanie przekonuje cię?