CAŁKA OZNACZONA

[lukasz037]

Witam, mam problem z dwiema całkami
1)\(\int_{0}^{ \pi }4sin^4x\)
2)\(\int_{- \frac{ \pi }{2} }^{ \frac{ \pi }{2} } cos^3x\)

proszę o rozwiązanie krok po kroku, bo mi zupełnie inne wyniki wychodzi, z góry dzięki

[sebnorth]

przedstawię szkic sposobu z książki Fichtenholza

Niech \(J_m = \int_{0}^{ \frac{\pi}{2} } \sin ^{m} x dx\)

wówczas całkując przez części dostajemy zależność \(J_m = \frac{m-1}{m}J_{m-2}\)

Czyli \(J_4 = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot J_0\)
\(J_0 = \int_{0}^{ \frac{\pi}{2} }1 dx = \frac{\pi}{2}\)

Ostatecznie \(J_4 = \frac{3\pi}{16}\)

Czyli \(\int_{0}^{ \pi } 4 \cdot \sin ^{4} x dx = 2\cdot 4 \cdot J_4 = \frac{3\pi}{2}\)

Podobnie z cosinusem(ten sam wzór) \(\int_{0}^{ \frac{\pi}{2} } \cos ^{3} x dx = \frac{2}{3}\)

wynik: \(\int_{- \frac{\pi}{2} }^{ \frac{\pi}{2} } \cos ^{3} x dx =\) \(\frac{4}{3}\)