Zbadaj zbieżność szeregu

[jedrzej49]

Zbadaj zbieżność i zbieżność bezwzględną

\(\sum_{2}^{ \infty } (-1)^n (\sqrt[n]{3}-1)\)

Szereg jest zbieżny wynika to z kryterium Leibniza. To jest jasne.

Problem mam z bezwzględną zbieżnością.

Nie wiem czy szereg \(\sum_{2}^{ \infty } (\sqrt[n]{3}-1)\) jest zbieżny.

[Arni123]

z kryterium D'Alamberta mamy:
\(\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\sqrt[n+1]{3}-1}{\sqrt[n]{3}-1}=\frac{\sqrt{3}\sqrt[n]{3}-1}{\sqrt[n]{3}-1}=\frac{\sqrt{3}-\frac{1}{\sqrt[n]{3}}}{1-\frac{1}{\sqrt[n]{3}}}\). Przy \(n \to \infty\) licznik dąży do \(0\), zatem \(\Lim_{n\to \infty }\frac{a_{n+1}}{a_n}= \infty\), czyli szereg jest rozbieżny.

[radagast]

\(...=\frac{\sqrt[n+1]{3}-1}{\sqrt[n]{3}-1}=\frac{\sqrt{3}\sqrt[n]{3}-1}{\sqrt[n]{3}-1}=...\)

Czy Ty jesteś pewien , że tak jest ?