obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami

[miedziana1994]

Witam potrzebuję jeszcze jednej rady dotyczącej obliczania objętości brył ograniczonych powierzchniami :\(2az=x^2+y^2+z^2\) \(x^2+y^2 \le z^2\) x=0 oraz y=0

[radagast]

Narysuj to sobie. Masz do czynienia ze stożkiem, kulą i dwiema płaszczyznami. To się da zrobić nawet bez całki, metodami gimnazjalnymi (pod warunkiem , że gimnazjalista będzie zdolny )

[Panko]

Jeżeli jeszcze nie rozwiązałaś przykładu to :
\(x^2+y^2+z^2-2az+a^2 \le a^2\) to kula : \(x^2+y^2+(z-a)^2 \le a^2\) : o środku w \(S=(0,0,a)\) i promieniu równym \(a\) . Czyli jest ona styczna do płaszczyzny \(z=0\) w punkcie \((0,0,0)\)
\(x^2+y^2 \le z^2\) wnętrze stożka o wierzchołku w \((0,0,0)\) ( należy do niego prosta zawierająca oś \(Oz\) )
Stożek : \(x^2+y^2=z^2\) przecina się ze sferą \(x^2+y^2+(z-a)^2=a^2\) : \(z^2+(z-a)^2=a^2\) . Stąd \(z=0\) lub \(z=a\)
Gdy \(z=a\) to \(x^2+y^2+a^2-2a \cdot a=0\) czyli \(\\) \(x^2+y^2=a^2\) okrąg.
Stożek w przecięciu ze sferą daje koło wielkie kuli.
Objętość tego stożka o podstawie : \(x^2+y^2=a^2\) ( gdy z=a) i wysokości równej \(\\)\(a\)\(\\) to \(V_1=\frac{1}{3} \pi a^2 \cdot a\).
Góra twojego obiektu to półkula o objętości \(V_2=\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} \pi a^3\).
Stąd cały obiekt ma objętość = \(V_1+V_2= \pi a^3\)
Płaszczyzny \(x=0\) ,\(y=0\) dzielą ten obiekt na cztery przystające bryły (części).
Stąd objętość szukanego obiektu= \(\frac{1}{4} \pi a^3\)