Calka - pole powierzchni bryly

[wieska94]

Oblicze pole powierzchni bryly utworzonej poprzez obrot dookola OX krzywej:

\(y= \frac{1}{x-1}\) \(\in <2,4>\)
Podam, ze wzor to : P=\(2 \pi \int_{a}^{b}f(x) \sqrt{1+(f'(x))^2}dx\)

Z moich obliczen dochodze do postaci \(2 \pi \int_{a}^{b} \frac{1}{x-1} \sqrt{1+ \frac{1}{(x-1)^4} }\) i nie wiem co dalej

Bardzo prosze o pomoc jesli ktos ma ochote zrobic ten przyjemny przyklad w tak sloneczny dzien )

[octahedron]

\(\displaystyle{
S=2\pi\int\limits_2^4\frac{1}{x-1}\sqrt{1+\frac{1}{(x-1)^4}}\,dx=2\pi\int\limits_2^4\frac{1}{(x-1)^3}\sqrt{(x-1)^4+1}\,dx=\bigg\{u=(x-1)^2\bigg\}=\pi\int\limits_1^9\frac{\sqrt{u^2+1}}{u^2}\,du=\\
=\bigg\{u=\sinh t\bigg\}=\pi\int\limits_{\mathrm{arcsinh} 1}^{\mathrm{arcsinh} 9}\frac{\cosh^2t}{\sinh^2t}\,dt=\pi\int\limits_{\mathrm{arcsinh} 1}^{\mathrm{arcsinh} 9}1+\frac{1}{\sinh^2t}\,dt=\pi\bigg[t-\ctgh t\bigg]_{\mathrm{arcsinh} 1}^{\mathrm{arcsinh} 9}=\\
=\pi\Bigg[t-\frac{\sqrt{1+\sinh^2t}}{\sinh t}\Bigg]_{\mathrm{arcsinh} 1}^{\mathrm{arcsinh} 9}=\pi\left(\mathrm{arcsinh} 9-\mathrm{arcsinh} 1+\sqrt{2}-\frac{\sqrt{82}}{9}\right)=\\
=\pi\left(\ln(9+\sqrt{82})-\ln(1+\sqrt{2})+\sqrt{2}-\frac{\sqrt{82}}{9}\right)=\pi\left(\ln\left(\frac{9+\sqrt{82}}{1+\sqrt{2}}\right)+\sqrt{2}-\frac{\sqrt{82}}{9}\right)
}\)