szereg taylora arctg rozwinac wokol x=-1

[kejkun]

rozwinac w szereg taylora 3 stopnia, funkcje\(f(x) = \arctg \frac{1}{x}\) wokół \(x_o = - 1\)

\(\large f'(x) = \frac{1}{( \frac{1}{x})^2+ 1 } \cdot \frac{-1}{x^2}= \frac { -1}{1 + x^2 }\)

\(f''(x) = \frac { 2x}{ (1+x^2)^2 }\)

\(\large f'''(x) = \frac { 2\ \cdot \ (1+x^2)^2 - 2x[2(x^2+1)]\ \cdot \ 2x }{ (1+x^2)^4 } = \\

\large \frac { 2 (1+x^2)^2 - 8x^2(x^2+1) }{ (1+x^2)^4 } = \frac { (1+x^2) \left( 2 (1+x^2) -8x^2 \right) }{ (1+x^2)^4 } = \frac { \left( 2 -6x^2 \right) }{ (1+x^2)^3 }\)

\(f(-1)= arc tg - 1 = \frac { - \pi}{4 }\)
\(f'(-1) = \frac { -1}{2 }\)
\(f''(-1) = \frac { -2}{4 } = \frac{-1}{2}\)
\(f'''(-1) = \frac { -4}{8 }= \frac{-1}{2}\)

czyli co piszę , że :
\(arc tg \frac { 1}{x } \approx \frac { - \pi}{4 } + \frac{-1}{2} (x+1) + \frac{-1}{4}(x+1)^2 + \frac{-1}{12} (x+1)^3\)
o to chodziło ? bo nie wiem jak do konca mam rozumiec to " 3 stopnia " ?

[patryk00714]

3 stopnia, czyli do \(n=3\). Jeżeli nie pomyliłeś się przy liczeniu pochodnych i we wzorze Taylora to będzie ok.