całki

[nemo23]

\(\int_{}^{} \sqrt{1+ \frac{1}{x^2} } dx
\int_{}^{} \sqrt{1+e^{2x}}dx\)
proszę o pomoc w rozwiązaniu ich

[patryk00714]

\(\int_{}^{} \sqrt{e^{2x}+1}dx= \int_{}^{} \frac{e^{2x}+1}{\sqrt{e^{2x}+1}}dx = \begin{vmatrix}t^2=e^{2x}+1 \\2tdt=2e^{2x}dx \\tdt=e^{2x}dx \\e^{2x}=t^2-1 \\dx=\frac{tdt}{t^2-1} \end{vmatrix}= \int_{}^{} \frac{t^2}{t} \cdot \frac{t}{t^2-1}dt= \\=\int_{}^{} \frac{t^2dt}{t^2-1}= \int_{}^{} \frac{t^2-1+1}{t^2-1}dt= \int_{}^{} 1dt+ \int_{}^{} \frac{1}{t^2-1}dt=t+ \int_{}^{} \frac{ \frac{1}{2} }{t-1}dt- \int_{}^{} \frac{ \frac{1}{2} }{t+1}dt =t+\frac{1}{2}ln|t-1|-\frac{1}{2}ln|t+1| =\\=\sqrt{e^{2x}+1}+\frac{1}{2}ln|\sqrt{e^{2x}+1}-1|-\frac{1}{2}ln|\sqrt{e^{2x}+1}+1|+C\)

[nemo23]

a ta pierwsza? bo naprawde nie mam pomysłu

[colo]

Zrób podstawienie x=sht (sinus hiperboliczny) i skorzystaj z jedynki hiperbolicznej, a na pewno wyjdzie