Witam, mam problem z taką całką, ciągle wychodzi mi inny wynik niż w odpowiedziach.
\(\int \frac{sinxcosxdx}{\sqrt (3(sinx)^{2}-7(cosx)^{2})\)
Całka nieoznaczona
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
patryk00714
- Mistrz
- Posty: 8799
- Rejestracja: 13 mar 2011, 12:28
- Lokalizacja: Śmigiel
- Podziękowania: 92 razy
- Otrzymane podziękowania: 4449 razy
- Płeć:
Re: Całka nieoznaczona
\(\int_{}^{} \frac{sinxcosxdx}{\sqrt{3sin^2x-7+7sin^2x}}= \begin{vmatrix} t=sinx\\dt=cosxdx\end{vmatrix}= \int_{}^{} \frac{tdt}{\sqrt{10t^2-7}}= \begin{vmatrix} 10t^2-7=u\\20tdt=du\\tdt=\frac{1}{20}du\end{vmatrix}= \frac{1}{20} \int_{}^{} \frac{du}{\sqrt{u}}=\\ = \frac{\sqrt{u}}{10}= \frac{\sqrt{10t^2-7}}{10}= \frac{ \sqrt{10sin^2x-7} }{10}+C\)
Otrzymałeś odpowiedź do umieszczonego zadania? Podziękuj autorowi za rozwiązanie!!
\(\exp (i \pi) +1=0\)
\(\exp (i \pi) +1=0\)
-
octahedron
- Expert
- Posty: 6762
- Rejestracja: 19 mar 2011, 00:22
- Otrzymane podziękowania: 3034 razy
- Płeć:
-
patryk00714
- Mistrz
- Posty: 8799
- Rejestracja: 13 mar 2011, 12:28
- Lokalizacja: Śmigiel
- Podziękowania: 92 razy
- Otrzymane podziękowania: 4449 razy
- Płeć:
-
patryk00714
- Mistrz
- Posty: 8799
- Rejestracja: 13 mar 2011, 12:28
- Lokalizacja: Śmigiel
- Podziękowania: 92 razy
- Otrzymane podziękowania: 4449 razy
- Płeć:
Re: Całka nieoznaczona
Ok, to policzmy pochodną mojego wyniku:
\(\left( \frac{\sqrt{10sin^2x-7}}{10} \right)'= \frac{1}{10} \left( \sqrt{10sin^2x-7\right)'= \frac{20sinxcosx}{20\sqrt{10sin^2x-7}}= \frac{sinxcosx}{\sqrt{10sin^2x-7}}= \frac{sinxcosx}{\sqrt{3sin^2x-7cos^2x}}\)
czyli jest ok.
\(\left( \frac{\sqrt{10sin^2x-7}}{10} \right)'= \frac{1}{10} \left( \sqrt{10sin^2x-7\right)'= \frac{20sinxcosx}{20\sqrt{10sin^2x-7}}= \frac{sinxcosx}{\sqrt{10sin^2x-7}}= \frac{sinxcosx}{\sqrt{3sin^2x-7cos^2x}}\)
czyli jest ok.
Otrzymałeś odpowiedź do umieszczonego zadania? Podziękuj autorowi za rozwiązanie!!
\(\exp (i \pi) +1=0\)
\(\exp (i \pi) +1=0\)
Re: Całka nieoznaczona
Zadanie takie jest w kursie eTrapez. Mi wyszło podobnie jak Wam:
\(\int_{}^{} \frac{sin x\ cos x} { \sqrt{3 sin^2 x - 7 cos^2 x } } =
\begin{vmatrix}
t = {3 sin^2 x - 7 cos^2 x}\\
dt = ({3 sin^2 x - 7 cos^2 x})' \ dx\\
dt = 20\ sin x\ cos x\ dx\\
dx = \frac {dt} { 20\ sin x \cos x}
\end{vmatrix}
= \int_{}^{} {\frac{sin x\ cos x}{ \sqrt{t} } \cdot \frac{dt}{20\ sin x\ cos x}}
= \frac{1}{20} \int_{}^{} \frac{1}{ \sqrt{t} } dt = \\
= \frac{1}{20} \int_{}^{} t^{- \frac{1}{2}} dt
= \frac{1}{10} \sqrt{t}\ + C
= \frac{1}{10} \sqrt{3 sin^2 x - 7 cos^2 x}\ + C\)
W odpowiedziach jest :
\(-\frac{1}{4} \sqrt{3 sin^2 x - 7 cos^2 x}\ + C\)
Tak jakby autor pomylił się w obliczaniu pochodnej przy podstawianiu. Czy mam rację?
Mój wynik potwierdza kalkulator na stronie http://www.integral-calculator.com/
Pozdrawiam.
\(\int_{}^{} \frac{sin x\ cos x} { \sqrt{3 sin^2 x - 7 cos^2 x } } =
\begin{vmatrix}
t = {3 sin^2 x - 7 cos^2 x}\\
dt = ({3 sin^2 x - 7 cos^2 x})' \ dx\\
dt = 20\ sin x\ cos x\ dx\\
dx = \frac {dt} { 20\ sin x \cos x}
\end{vmatrix}
= \int_{}^{} {\frac{sin x\ cos x}{ \sqrt{t} } \cdot \frac{dt}{20\ sin x\ cos x}}
= \frac{1}{20} \int_{}^{} \frac{1}{ \sqrt{t} } dt = \\
= \frac{1}{20} \int_{}^{} t^{- \frac{1}{2}} dt
= \frac{1}{10} \sqrt{t}\ + C
= \frac{1}{10} \sqrt{3 sin^2 x - 7 cos^2 x}\ + C\)
W odpowiedziach jest :
\(-\frac{1}{4} \sqrt{3 sin^2 x - 7 cos^2 x}\ + C\)
Tak jakby autor pomylił się w obliczaniu pochodnej przy podstawianiu. Czy mam rację?
Mój wynik potwierdza kalkulator na stronie http://www.integral-calculator.com/
Pozdrawiam.