forum.zadania.info

\(f(x)=xcosx \ \ \ \ dla \ \ \ \ x \ \ \in \left[\pi,\pi \right]\)
\(f(x) =cos{ \frac{1}{3}x} \ \ \ \ dla \ \ \ \ x \ \ \in \left[\pi,\pi \right]\)
\(f(x)= sin{ \frac{1}{2} x} \ \ \ \ dla \ \ \ \ x \ \ \in \left[\pi,\pi \right]\)
\(f(x) = \begin{cases} 0 \ \ \ dla \ \ \ \ x \ \ \in \left[\pi,0 \right)\\sinx \ \ \ dla \ \ \ \ x \ \ \in \left[0,\pi \right] \end{cases}\)

Mi wlasnie udalo sie zdac egzamin z analizy fourierowskiej ale przyznam szczerze, ze ciagle gdzies robie bledy przy tych rozwinieciach.
ta funkcje \(f(x)=\sin\frac{x}{2}\) rozwinalbym tak
\(b_{n}=\frac{2}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\sin nx \sin\frac{x}{2}dx\)

dla \(sin nx \sin\frac{x}{2}=\frac{1}{2}\(\cos (n-\frac{1}{2})x-\cos (n+\frac{1}{2})x\)\)

\(b_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\cos (n-\frac{1}{2})xdx-\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\cos (n+\frac{1}{2})xdx=\frac{1}{\pi}\[\frac{\sin(n-\frac{1}{2})x}{n-\frac{1}{2}}\]_{-\pi}^{\pi}-\frac{1}{\pi}\[\frac{\sin(n+\frac{1}{2})x}{n+\frac{1}{2}}\]_{-\pi}^{\pi}\)