ekstremum funkcji

[igor234]

Wyznacz ekstrema funkcji

\( f(x, y) = x^3 + 1\)
sprawdziłem to odpowiednia metodai wyszlo det = 0 wiec metoda nie rozstrzyga problemu. Dostalem
takie oto pytanie

W takim razie jakie jest rozwiązanie? Co się dzieje w punktach stacjonarnych?

Co dalej mozna z tym zrobic? Jak to rozwiklac

[janusz55]

Jaki wyznacznik (det = 0) ?

Dlaczego \( f(x,y), \) a nie \( f(x) = x^3 +1 \) jako funkcja jednej zmiennej?

[igor234]

ok takie mialem zadanie

[janusz55]

Dlaczego miała by rozstrzygać, skoro wykres funkcji \( f(x,0) = x^3 +1 \) nie ma ekstremum lokalnego.

[igor234]

moze z definicji badz wykresu

[Tulio]

Spójrz na wykres i powiedz jakie funkcja ma ekstrema.
Metoda nie rozstrzyga, zatem albo trzeba z definicji albo po prostu rozwiązać \(f \left( x,y=0\right) =f \left( x\right) =x^3+1\) i zobaczyć (ze zwykłych pochodnych), że nie ma ona ekstremum (lokalnego).

[Tulio]

Jeśli nie wolno posługiwać się pochodnymi funkcji jednej zmiennej. To dla punktu stacjonarnego \( \left( 0,y\right), y\in \rr \) należy udowodnić brak ekstremum z definicji:
Załóżmy, że w "punkcie" \( \left( 0,y\right), y\in \rr \) jest maksimum. W takim razie w dowolnym otoczeniu tego punktu wszystkie wartości są mniejsze, ale dla dowolnego \(\epsilon>0\) zachodzi:
\(\left( 0,y\right)=1<\left( \epsilon,y\right)=\epsilon^3+1\)
podobnie nie może być tam minimum (wystarczy dowolne \(\epsilon<0\))

Co się dzieje w punktach stacjonarnych?

Dla funkcji jednej zmiennej mówimy tutaj o punkcie przegięcia. Tutaj nazwiemy to punktem siodłowym.

[igor234]

dzieki za rozjasnienie