podwójna całka

[rmit]

Oblicz całkę \(\iint_D \frac{dx \, dy}{\sqrt{ax - x^2}}\)
gdzie D jest obszarem ograniczony parabolą \(y^2=-ax+a^2 ,\ a>0\) oraz osią 0y.

Bardzo proszę o pomoc,zupełnie nie potrafię tego rozwiązać ,w książcę wynik to \(4a\) .
Zapisze też tak jakby latex nie działał: Oblicz podwójną całkę po obszarze D z dxdx/(ax-x^2)^0.5 gdzie D jest obszarem ograniczony parabolą y^2=-ax+a^2, a>0 oraz osią 0y.

[Tulio]

Rysunek obszaru (dla \(a=2\)):

Mamy do czynienia z obszarem normalnym, gdzie:
\(D= \left\{ \left( x,y\right): 0 \le x \le a, - \sqrt{-ax+a^2} \le y \le \sqrt{-ax+a^2} \right\} \)
Zamieniamy całkę podwójną na całkę iterowaną:

\(\iint_D \frac{dx \, dy}{\sqrt{ax - x^2}} = \int_{0}^{a} dx \int_{- \sqrt{-ax+a^2}}^{\sqrt{-ax+a^2}} \frac{dy}{\sqrt{ax-x^2}} \)

Zauważmy, że ułamek \(\frac{1}{\sqrt{ax-x^2}}\) nie zależy od \(y\) - jest to dla nas jak stała:

\( \int_{0}^{a} dx \int_{- \sqrt{-ax+a^2}}^{\sqrt{-ax+a^2}} \frac{dy}{\sqrt{ax-x^2}} = \int_{0}^{a} \left[ \frac{1}{\sqrt{ax - x^2}} y\right]^\sqrt{-ax+a^2}_{- \sqrt{-ax+a^2}} dx = \int_{0}^{a} \left[ \frac{1}{\sqrt{ax - x^2}} \left( \sqrt{-ax+a^2} + \sqrt{-ax+a^2}\right) \right] dx = 2 \int_{0}^{a} \frac{\sqrt{-ax+a^2}}{\sqrt{ax - x^2}} dx = 2 \int_{0}^{a} \sqrt{\frac{-ax+a^2}{ax - x^2}} dx\)

i już masz całkę jednej zmiennej, jeśli wszystko dobrze zrobiłem, to wynik będzie \(2\cdot \left( 2\sqrt{ax}+C\right) \) i po wstawieniu \(x=a\) wyjdzie \(4a\)

Podpowiedź: z licznika pod pierwiastkiem wyłącz \(a\), z mianownika wyłącz \(x\).

[rmit]

Wielkie dzięki bardzo mi pomogłeś:)

[janusz55]

\( F'(x) = (4\sqrt{ax} + C)' = \frac{4a}{2\sqrt{ax}} = \frac{2a}{\sqrt{ax}} \neq 2\sqrt{\frac{-ax+a^2}{ax-x^2}}. \)

[Tulio]

\( F'(x) = (4\sqrt{ax} + C)' = \frac{4a}{2\sqrt{ax}} = \frac{2a}{\sqrt{ax}} \neq 2\sqrt{\frac{-ax+a^2}{ax-x^2}}. \)

\( \frac{2a}{\sqrt{ax}} = 2\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{x}} = 2\sqrt{\frac{a}{x}} = 2\sqrt{\frac{a\cdot \left( -x+a\right) }{x\cdot \left( -x+a\right)}} = 2\sqrt{\frac{-ax+a^2}{ax-x^2}}\)
Dla \(a>0\) jak w zadaniu.

oraz:
\(2 \int_{0}^{a} \sqrt{\frac{-ax+a^2}{ax - x^2}} dx = 2 \int_{0}^{a} \sqrt{\frac{a \left( -x+a\right) }{x \left( -x+a\right) }} dx =2 \int_{0}^{a} \sqrt{\frac{a}{x}} dx = 2\sqrt{a} \int_{0}^{a} \frac{1}{\sqrt{x}} dx = 2\sqrt{a} \int_{0}^{a} x^{-\frac{1}{2}} dx = 2\sqrt{a}\cdot \left( 2 \sqrt{x} \right)^{a}_{0} =4 \sqrt{ax}^{a}_{0} = 4a \)