wykazać , że

[FikiMiki94]

wykazać , że dla dowolnych ograniczonych i niepustych zbiorów A,B \(\subset \rr\) zachodzą następujące własności
a) sup (A+B) = sup A + sup B
b) sup (AB)= sup A sup B, AB\([0 + \infty ]\)

[octahedron]

Dla każdych \(a\in A,\ b\in B\) mamy \(a\le\sup A\) i \(b\le\sup B\), stąd \(a+b\le \sup A+\sup B\). Ponadto dla dowolnego \(\varepsilon>0\) istnieją takie \(a\in A,\ b\in B\), że \(\sup A-\frac{1}{2}\varepsilon<a\) i \(\sup B-\frac{1}{2}\varepsilon<b\), zatem \(\sup A+\sup B-\varepsilon<a+b\). Oznacza to, że \(\sup(A+B)=\sup A+\sup B\)
Co oznacza \(AB[0 + \infty ]\) w b)?

[FikiMiki94]

sup(AB)=supAsupB \(A,B \subset [O + \infty ]\)

[octahedron]

\(0\le a\le \sup A,\ 0\le b\le \sup B\\
ab\le a\sup B\le \sup A\sup B\\\)
Jeśli \(\sup A=0\), to \(A=\left\{0\right\}\) i \(AB=\left\{0\right\}\), stąd \(\sup AB=0\), analogicznie dla \(\sup B=0\). W przeciwym wypadku dla dowolnych dostatecznie małych \(\varepsilon>0\) mamy \(0<\sup A-\frac{\varepsilon}{\sup A+\sup B}<a\) i \(0<\sup B-\frac{\varepsilon}{\sup A+\sup B}<b\) i dalej \(ab>\left(\sup A-\frac{\varepsilon}{\sup A+\sup B}\right)\left(\sup B-\frac{\varepsilon}{\sup A+\sup B}\right)>\sup A\sup B-\varepsilon\), zatem \(\sup(AB)=\sup A\sup B\)

[FikiMiki94]

a skąd sie tam wzięło \(\frac{ \varepsilon }{supA + supB}\)

[octahedron]

Tak sobie przyjąłem, by się później uprościło do \(\sup A\sup B-\varepsilon\).