Wyznacz wszystkie wartości parametru m

[katie12]

1.Wyznacz wszystkie wartości parametru m (m należy do R), dla których równanie 4^x+(m-2)*2^x+4=0 ma dwa różne rozwiązania.

2. Wyznacz wszystkie wartości parametru m dla których równanie 3^2x-2(m-1)*3^x+m+5=0 ma jedno rozwiązanie.

3. Dla jakich wartości parametru m równanie 4^x+4^x-1+4^x-2+...= m-1/3*4^2x nie ma rozwiązań?

[Galen]

1)
Podstaw \(2^x=t\;\;\;\;i\;\;\;\;\;t>0\)
\(t^2+(m-2)t+4=0\)
Równanie z niewiadomą x będzie mieć dwa różne rozwiązania,gdy równanie z niewiadomą t będzie
miało dwa rozwiązania dodatnie.
Muszą być spełnione warunki:
\(\begin{cases} \Delta>0\\t_1 \cdot t_2>0\\t_1+t_2>0\end{cases}\)
\(\Delta=(m-2)^2-16=m^2-4m-12>0\\\Delta_m=16+48=64=8^2\\m_1= \frac{4-8}{2}=-2\\m_2=6\\\Delta>0\;\;dla\;\;m\in (- \infty ;-2) \cup (6;+ \infty )\)
Dalej masz z wzorów Viete'a
\(t_1t_2=4>0\\t_1+t_2= \frac{-(m-2)}{1}=2-m>0\;\;dla\;\;\;m<2\)
Ustalasz część wspólną dla m
\(m\in (- \infty ;-2)\)

[michal486]

\(3.\)
Lewa strona to szereg geometryczny. Dziedzina szeregu \(|q|<1\)
Suma tego szeregu \(S = \frac{a_1}{1-q}\), gdzie :
\(a_1 = 4^x\)
\(q = \frac{1}{4}\)
Zatem mamy
\(\frac{4^x}{ 1 - \frac{1}{4} } = \frac{m-1}{3 \cdot 4^{2x}}\)
\(\frac{4^{x+1}}{3} = \frac{m-1}{3 \cdot 4^{2x}}\)
Mnożąc "na krzyż"
\(4^{x+1} \cdot 3 \cdot 4^{2x} = 3(m-1)\)
\(3 \cdot 4^{3x+1} = 3m - 3\)
\(3m = 3 \cdot 4^{3x+1} + 3\)
\(m = 4^{3x+1} + 1\)
Teraz wystarczy zobaczyć, jaki zbiór wartości ma funkcja \(4^{3x+1} + 1\)
No i wychodzi nam ze \(ZW = (1; \infty )\) zatem równanie nie ma rozwiązań dla \(m \le 1\)

[michal486]

2. Wyznacz wszystkie wartości parametru m dla których równanie 3^2x-2(m-1)*3^x+m+5=0 ma jedno rozwiązanie.

Mamy równanie \(3^{2x} - 2(m-1) \cdot 3^x + m + 5 = 0\)
Niech \(3^x = t\), gdzie \(t > 0\)
\(t^2 - 2t(m-1) + m + 5 = 0\)
To równanie ma 1 rozwiązanie, gdy \(\Delta = 0\)
zatem
\(\Delta_t = 4(m-1)^2 - 4(m+5) = 4(m^2-2m+1) - 4m - 20 = 4m^2 - 12m - 16 = 4(m^2 - 3m - 4)\)
\(4(m^2 - 3m - 4) = 0 \iff m^2 - 3m - 4 = 0\)
\(m^2-3m-4 = (m-4)(m+1)\)
Zatem \(m = 4\) lub \(m = - 1\)
Sprawdźmy, który z nich jest prawidłowy.

Skoro jeszcze \(t\) musi być \(> 0\) to :
\(\begin{cases}
t_1 + t_2 > 0\\
t_1 \cdot t_2 > 0
\end{cases}\)
\(t_1 + t_2 = \frac{2(m-1)}{1} = 2m - 2\)
\(2m - 2 > 0 \iff m > 1\)

\(t_1 \cdot t_2 = \frac{m+5}{1}= m + 5\)
\(m+5 > 0 \iff m > - 5\)
Część wspólna z tych dwóch przedziałów to \(m \in <1 ; \infty )\)

Zatem widzimy, że jedynym prawidłowym \(m\) jest \(m = 4\)